五度相生律

This page is written in Simplified Chinese. It is temporarily hosted on the English Xenharmonic Wiki since there is no Simplified Chinese subdomain for the Xenharmonic Wiki.

五度相生律（pythagorean tuning）又称毕氏律，是通过连续的五度相生，确定音名的音律。由于五度相生律所有的音程，因子都是2和3，没有大于3的素数，因此，五度相生律又称为3限（3-limit）纯律。

定义

五度相生律的音高，是通过F-C-G-D-A-E-B五度链得到的，五度链相邻的两个音，就可以形成一个纯五度（3/2）。假设C的音高是f，那么可以得到G的音高是3f/2，D是9f/4；但由于9/4已经超过了一个八度（2/1），因此一个八度内的D的音高就是9f/8，这样就得到了大二度9/8。依此类推，A=27f/16，E=81f/64，B=243f/128，F=4f/3。这样就得到了毕氏大六度27/16、毕氏大三度81/64、毕氏大七度243/128，而纯四度作为纯五度的转位，它就是4/3。由于小二度，也就是自然半音（diatonic semitone）或音馀（limma），就是大七度的转位，因此毕氏律的小二度是256/243。

继续扩展五度链，比如C-G-D-A-E-B-F#-C#，还可以得到F#=729f/512，C#=2187f/2048。这样，就得到了毕氏增四度729/512，毕氏增一度2187/2048。由于729/512就是9/8的立方，9/8正好就是一个全音（whole tone），因此虽然“三全音”广义上可以代表550-650音分的音程，但是真正字面意义上的三全音，就是毕氏增四度；而增一度，起到变化半音（chromatic semitone）或者音变（apotome）的作用，因此五度相生律的一个升号，就代表升高2187/2048。

音名表格

比例	Monzo	大小 (¢)	Color Name		音程（C为根音）/音名
1/1	[0⟩	0.000	w1	wa unison	P1	C
2187/2048	[-11 7⟩	113.685	Lw1	lawa 1sn	A1	C#
256/243	[8 -5⟩	90.225	sw2	sawa 2nd	m2	Db
9/8	[-3 2⟩	203.910	w2	wa 2nd	M2	D
19683/16384	[-14 9⟩	317.595	Lw2	lawa 2nd	A2	D#
32/27	[5 -3⟩	294.135	w3	wa 3rd	m3	Eb
81/64	[-6 4⟩	407.820	Lw3	lawa 3rd	M3	E
8192/6561	[13 -8⟩	384.360	sw4	sawa 4th	d4	Fb
4/3	[2 -1⟩	498.045	w4	wa 4th	P4	F
729/512	[-9 6⟩	611.730	Lw4	lawa 4th	A4	F#
1024/729	[10 -6⟩	588.270	sw5	sawa 5th	d5	Gb
3/2	[-1 1⟩	701.955	w5	wa 5th	P5	G
6561/4096	[-12 8⟩	815.640	Lw5	lawa 5th	A5	G#
128/81	[7 -4⟩	792.180	sw6	sawa 6th	m6	Ab
27/16	[-4 3⟩	905.865	w6	wa 6th	M6	A
32768/19683	[15 -9⟩	882.405	sw7	sawa 7th	d7	Bbb
16/9	[4 -2⟩	996.090	w7	wa 7th	m7	Bb
243/128	[-7 5⟩	1109.775	Lw7	lawa 7th	M7	B
4096/2187	[12 -7⟩	1086.315	sw8	sawa 8ve	d8	Cb
2/1	[1⟩	1200.000	w8	wa 8ve	P8	C

在五度相生律中，我们熟知的G#和Ab等，不再是等音，他们相差了一个毕氏音差（pythagorean comma）531441/524288。如果调和这个音差，就得到12平均律（及其整数倍，如24、36等）；其他平均律，则会调和五度相生律中的其他音差。

平均律近似

对于一个平均律，音程的名字和生成规则和五度相生律的音程名字是相同的。如大三度=4*纯五度-2*纯八度，因此31平均律中的五度18\31，决定大三度为10\31。

类似的，小二度=3*纯八度-5*纯五度，增一度=7*纯五度-4*纯八度，通过这样的方式，可以得到一个平均律的sharpness（增一度对应的步数）和penta-sharpness（又称limmanosity，小二度对应的步数）。这两个参数的正负，决定一个平均律的分类：diatonic（可以构建正常的5L 2s），pentatonic（E=F，B=C，因此七声调式转化为五声调式），perfect（A1=P1，因此没有大小音程之分，所有音程都是纯音程，升降号不改变音高），superflat（由于五度过低，升号反而降低音高，因此原来的5L 2s转化为2L 5s，又称antidiatonic），以及supersharp（五度过高，导致小二度<0，因此E高于F，B高于C，大七度超过八度，无法构建七声调式。但是，对于这类平均律，可以使用不含有B和F的五声调式，但是原来的2L 3s转化为3L 2s，又称antipentic；对于它们还有两类处理方法，一类是把8、13、18看做24、26、36的子集，另一类对于8不适用，是使用第二好的五度，转化为superflat）

由于平均律的音名的生成规则也是五度相生，因此，五度的准确性，决定一个平均律和五度相生律的相似性。下表列出了纯五度相对误差不超过7%的，不超过200的平均律。

平均律	步数	Absolute	相对误差 (%)	↕	等价扩展
12	7\12	1.955	1.955	↓	14\24, 21\36
17	10\17	3.927	5.564	↑
29	17\29	1.493	3.609	↑
41	24\41	0.484	1.654	↑	48\82, 72\123, 96\164
53	31\53	0.068	0.301	↓	62\106, 93\159
65	38\65	0.416	2.256	↓	76\130, 114\195
70	41\70	0.902	5.262	↑
77	45\77	0.656	4.211	↓
89	52\89	0.831	6.166	↓
94	55\94	0.173	1.352	↑	110\188
111	65\111	0.748	6.916	↑
118	69\118	0.260	2.557	↓
135	79\135	0.267	3.006	↑
142	83\142	0.547	6.467	↓
147	86\147	0.086	1.051	↑
171	100\171	0.200	2.859	↓
176	103\176	0.318	4.660	↑
183	107\183	0.316	4.814	↓
200	117\200	0.045	0.750	↑