31平均律

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理論

31平均律 (31 Equal temperament)は、31-TET, 31-EDO, 31-ET とも略称され、オクターヴ31段の等間隔なステップ(等しい周波数比)に分割することにより得られる音律である。各ステップは周波数比 [math]2^{\frac{1}{31}}[/math]( [math]\sqrt[31]{2}[/math] )、または 1200/31 ≈ 38.70967742 セントである。

29平均律の後であり、37平均律の前に位置する、8番目の素数平均律である。

オクターヴの31段への分割は、レッサー・ディエシス(オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント) は、ほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、というルネッサンス音楽理論から自然に起こった。

1666年に Lemme Rossi が最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者クリスティアーン・ホイヘンスがこれに関し記述した。

この時代の標準的な調律のシステムが、5度が 51/4 の周波数比に調整される1/4コンマ中全音律であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。

ホイヘンスは、31平均律が7限界和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。

20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker は、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。

31平均律の音程と近似値

主な純正音程との対応は以下のようになる。

段数 cent DMS 音程名 純正比 純正
(cent)
error
(cent)
0 0.000 0.000 同度 1/1 0.000 0.000
1 38.710 11.613 半増1度 49/48
45/44
35.697
38.906
+3.013
−0.196
2 77.419 23.226 半音階的半音 25/24
22/21
21/20
70.672
80.537
84.467
+6.747
−3.118
−7.048
3 116.129 34.839 全音階的半音 16/15
15/14
111.731
119.443
+4.398
−3.314
4 154.839 46.452 中立2度 12/11 150.637 +4.202
5 193.548 58.065 全音 10/9
9/8
182.404
203.910
+11.145
−10.362
6 232.258 69.677 Supermajor second 8/7 231.174 +1.084
7 270.968 81.290 Subminor third 7/6 266.871 +4.097
8 309.677 92.903 短3度 6/5 315.641 −5.964
9 348.387 104.516 中立3度 11/9 347.408 +0.979
10 387.097 116.129 長3度 5/4 386.314 +0.783
11 425.806 127.742 Supermajor third 14/11
9/7
417.508
435.084
+8.298
−9.278
12 464.516 139.355 半減4度 13/10
21/16
454.214
470.781
+10.302
−6.265
13 503.226 150.968 完全4度 4/3 498.045 +5.181
14 541.935 162.581 半増4度 15/11
11/8
536.951
551.318
+4.985
−9.382
15 580.645 174.194 狭い三全音 7/5 582.512 −1.867
16 619.355 185.806 広い三全音 10/7 617.488 +1.867
17 658.065 197.419 半減5度 16/11
22/15
648.682
663.049
+9.382
−4.985
18 696.774 209.032 完全5度 3/2 701.955 −5.181
19 735.484 220.645 半増5度 32/21
20/13
729.219
745.786
+6.265
−10.302
20 774.194 232.258 Subminor sixth 14/9
11/7
764.916
782.492
+9.278
−8.298
21 812.903 243.871 短6度 8/5 813.686 −0.783
22 851.613 255.484 中立6度 18/11 852.592 −0.979
23 890.323 267.097 長6度 5/3 884.359 +5.964
24 929.032 278.710 Supermajor sixth 12/7 933.129 −4.097
25 967.742 290.323 Subminor seventh 7/4 968.826 −1.084
26 1006.452 301.935 短7度 16/9
9/5
996.090
1017.596
+10.362
−11.145
27 1045.161 313.548 中立7度 11/6 1049.363 −4.202
28 1083.871 325.161 長7度 15/8 1088.269 −4.398
29 1122.581 336.774 減8度 21/11 1119.463 +3.118
30 1161.290 348.387 半減8度
31 1200.000 360.000 オクターヴ 2/1 1200.000 0.000

他のテンペラメントの近似として

31平均律の最も際立った特徴は、ほとんど純正な長3度と、完全4度、そして短3度をもつことであり、その誤差は6セントより狭い。ミーントーンテンペラメントとしてもよいチューニングである。31平均律はまた、Miracle テンペラメントとしても適している。

拡大されたハーモニーとして

31平均律はより一層12平均律より協和するハーモニーを提供する。

音程とリニアーテンペラメント

31は素数であるため、31平均律が受けもつすべてのランク2テンペラメントは1オクターブ1ピリオドである。それゆえ、それぞれの線形テンペラメントはジェネレーター (generator)として特定の音程に対応付けられる。

31平均律で緩和されるコンマ

31平均律を < 31 49 72 87 107 115 127 132| ヴァルとみなした時、以下のコンマを緩和する。

Comma Value (Cents) Name
81/80 21.506 シントニックコンマ
(syntonic comma)
393216/390625 11.445 ヴィルシュミット・コンマ
(Würschmidt comma)
1990656/1953125 32.952 ヴァレンタイン・コンマ
(valentine comma)
2109375/2097152 10.061 セミコンマ
(semicomma)
126/125 13.795 Starling comma
225/224 7.7115 Marvel comma
1029/1024 8.4327 gamelisma
1728/1715 13.074 orwellisma
2401/2400 0.7212 breedsma
99/98 17.576 mothwellsma
121/120 14.367 biyatisma
176/175 9.8646 valinorsma
243/242 7.1391 rastma
385/384 4.5026 keenanisma
441/440 3.9302 werckisma
540/539 3.2090 swetisma
66/65 26.432 winmeanma
105/104 16.567 animist
144/143 12.064 grossma
196/195 8.8554 mynucuma
275/273 12.637 gassorma
351/350 4.9393 ratwolfsma

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