User:Triethylamine/draft: 19平均律
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19平均律、または19音平均律(英: 19 equal divisions of the octave, 19 equal temperament, 19edo, 19et)は、レギュラーテンペラメントの観点から見ると、オクターブを均等な19個のステップに分割した調律システムである。
それぞれのステップの周波数比は 2 の 19乗根であり、約 63.158 セントである。
理論
歴史
この調律システムへの関心は16世紀、作曲家のGuillaume Costeleyが自身の1558年のシャンソン Seigneur Dieu ta pitié に使用した頃にさかのぼる。Costeleyはこの調律の循環する側面を理解し、また欲しており、彼はこの調律を、純正長2度を3つのほぼ等しい間隔に分割するものと定義した。Costeley は減3度などの音程を活用した作品も作った。減3度は19平均律としては意味を持つが、当時の他の調律システムでは意味のないものである。
1577年、音楽理論家のFrancisco de Salinasは、1/3-コンマミーントーン(en)を提案した。その5度の大きさは約 694.786 セントである。19平均律の5度は約 694.737 セントであり、これは約12分の1セント程低いだけである。Salinasはオクターブをこの調律方法で19音にチューニングすることを提案したが、19平均律と比べ1セントにも満たない差しかないので、彼の提案は実質19平均律であった。
1835年、数学者であり音楽理論家のWesley Woolhouseは、彼自身がより良いミーントーン調律だと考えている50平均律(en)などの、より実用的な代替手段としてこの音律を提案した(Woolhouseのエッセイの要約)。
他の音律への近似として
19平均律の最も顕著な特徴は、ほとんど純正な短3度と、約7セント狭い完全5度・長3度を持っているため、ミーントーン(en)音律に適した調律として機能するということである。また、長3度5つの音程が "12度" (=完全5度+1オクターブ)1つに等しいので、マジック(en)/マグルズ(en)音律にも適している。しかし、これら全てに対して、より適した調律が存在する。例えば、19平均律の5度はミーントーンの通常の5度よりも低く、より正確な近似としては31平均律がある。同様に、マジック音律のジェネレーターは長3度であるが、これも19平均律では低く、41平均律(en)がより正確に合う。マグルズ音律には適した調律になるが、19平均律の場合はマジックと同じとなる。また、19平均律7ステップの超長3度はsensi(en)に使うことができる。sensiのジェネレーターはかなり高い長3度で、2つで短6度(5/3)に近似する。しかし、sensiの13-リミット近似には27平均律(en)や46平均律(en)の方がより適している。
しかし、これら全てにおいて、19平均律には必要なピッチがより少なくて済むという実践的な利点があり、その結果物理的な実現がより簡単になる。(たくさんの19平均律楽器が制作されてきている。)19平均律は、12平均律に次いで二番目の、5-リミット音楽を許容出来る方法で扱うことのできる平均律であり、また、12平均律に次いで五番目のゼータ積分平均律(en)である。7倍音系短三度(7/6)と7倍音系全音(8/7)の間の区別がなくなってしまうので、19平均律は7-リミットではあまり上手くいかない(しかし12平均律よりは良い)。19平均律は negri, keemun, ゴジラ, マジック/マグルズ, triton/lieseに最適であり、さらにsensiにもかなり適しているという利点を有している。keemunやnegriはとてもシンプルな7-リミット音律であるという点で注目に値し、19平均律におけるMOSスケールは非常に豊富な7倍音系四和音を提供する。7-リミット四和音のGraham複雑度(en)はkeemunでは6、negriでは7、ゴジラでは8、ミーントーンでは10、tritonでは11、マジック/マグルズでは12、そしてsensiでは13である。
ゼータ積分調律なので、13-リミットは比較的よく表現されているが、一貫性がある表現がされているのは 2.3.5.7.13 サブグループのみである。実際には、19平均律は音を上にベンドできる楽器に適応的に使用できる。さまざまな大きさで、3, 5, 7, および13倍音はすべて低くチューニングされる。同じことは12平均律では言えない。12平均律では 5, 7倍音が19平均律の場合よりも純正から遠くなるだけでなく、かなり高くなる。19平均律のnegri, sensi, semaphoreスケールには13-リミットのコードが多く含まれている。(通常のディミニッシュスケールに対する19edoの対応物としてsensi[8] 3L 5s MOSスケールを思い浮かべてみよ。どちらも2つのディミニッシュセブンスコードで構成されているが、sensi[8] では7と13倍音の追加の比率が得られる。)
別の選択は、伸長されたオクターブを使用することだ。ゼータ関数的に最適な調律のオクターブは約 1203 セントである。弦楽器、特にピアノは、弦に固有の不調和性のため、オクターブを伸ばして調律されることが多いため、19平均律はそれらにとって有望な選択肢となる。オクターブ伸長は、チューニングがずれている音程を、ほぼ正確に調整した、複合したあるいは反転した音程に置き換えることができることも意味する。たとえば、93ed30(30/1が純正である19平均律の変形)を使用すれば、ほぼ純正な短3度(6/5)、複合長3度(5/1)、および複合5度(6/1)が得られ、5-リミット調性ダイヤモンド内のすべての比が提供される。複合メジャー三和音とマイナー三和音(1:5:6 および 30:6:5)も同様にほぼ純正となる。
ハーモニーを拡張する手段として
19平均律は 12平均律よりも多くの調和した協和ハーモニーを実現できるため、4度堆積、2度堆積、ポリコードなどの代替のハーモニーを使用する場合に適している。William Lynch(en)は、不完全とみなされている三和音とともに、さまざまな種類のセブンスコードを基本的な響きとして扱うことを提案している。12平均律では衝突する傾向がある、7倍音や他の非ダイアトニックコード的拡張を含む、より高次倍音への拡張は、19平均律ではより良く調和する。
さらに、Joseph Yasserは、その内の7音メジャースケールが西洋音楽のペンタトニックに似たものになる、19平均律の12音スプラダイアトニックスケールのアイデアについて話している。将来の世代には曖昧で、トーンに活力がないように聴こえるかもしれない。言い換えれば、「音の重力という否定できない法則が存在するシステムでありながら、はるかに複雑な音の世界」である。Yasserは、音楽は最終的には12音スプラダイアトニックスケールを備えた19音システムに移行し、標準になるだろうと信じていた。これはまだ実現していないが、Yasserのスプラダイアトニック性の概念は興味深いものであり、異質に聴こえすぎずに調性を拡張したい人にとっては検討する価値がある。
19平均律はまた、Bozujiチューニング(en) (Gioseffo Zarlinoの純正律へのアプローチに基づいた21世紀のチューニング) の音程のほとんどに非常に近似している。Bozujiチューニングの隣接するダイアトニックの減音程と増音程のほとんどは、19平均律の1つの音程で異名同音的に表される。
19平均律の狭い全音と広いダイアトニック半音は、ダイアトニックスケールにやや鈍い性質を与えるが、ペンタトニックスケールには逆の効果があり、狭い全音と広い短3度の間のコントラストが大きくなるため、より表現力豊かになる。12平均律には表現力豊かなダイアトニックと鈍いペンタトニックがあるが、19平均律ではその逆が当てはまる。したがって、19平均律ではペンタトニック中心主義(pentatonicism)がより重要になり、ペンタトニックスケールを一種の "スーパーコード" として使用し、"コード進行" をスーパーダイアトニックスケールのペンタトニック部分セット間の変調とするのが1つの選択となる。
素数倍音
| Harmonic | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Error | Absolute (¢) | +0.0 | -7.2 | -7.4 | -21.5 | +17.1 | -19.5 | +21.4 | +18.3 | +3.3 | -19.1 | -8.2 |
| Relative (%) | +0.0 | -11.4 | -11.7 | -34.0 | +27.1 | -30.8 | +33.8 | +28.9 | +5.2 | -30.2 | -13.0 | |
| Steps (reduced) |
19 (0) |
30 (11) |
44 (6) |
53 (15) |
66 (9) |
70 (13) |
78 (2) |
81 (5) |
86 (10) |
92 (16) |
94 (18) | |
部分集合と上位集合
19平均律は8番目の素数平均律(en)で、1つ前は17平均律、1つ後は23平均律である。
19平均律を2倍にした38平均律は、5-リミットマッピングの平坦な傾向とうまく機能する11倍音の近似を提供する。詳しくはundevigintone(en)を参照。57平均律は7倍音を効果的に純正に補正するが、最もよく適合するのは76平均律である。詳しくはmeanmag(en)を参照。
音程
| # | セント | 近似周波数比※ | 音程 | ソルフェージュ | Dodecatonic Notation | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00 | 1/1 | 完全1度, ユニゾン | P1 | C | ド(Do) | P1 |
| 1 | 63.16 | 25/24, 28/27, 26/25 | 増1度, 減2度 | A1, d2 | C#, Dbb | ディ(Di) ロ(Ro) |
A1, m2 |
| 2 | 126.32 | 15/14, 16/15, 13/12, 14/13 | 短2度 | m2 | Db | ラ(Ra) | M2, m3 |
| 3 | 189.47 | 9/8, 10/9, 125/112 | 長2度 | M2 | D | レ(Re) | M3 |
| 4 | 252.63 | 7/6, 8/7, 15/13 | 増2度, 減3度 | A2, d3 | D#, Ebb | リ(Ri) マ(Ma) |
m4, a3 |
| 5 | 315.79 | 6/5 | 短3度 | m3 | Eb | メ(Me) | M4, m5 |
| 6 | 378.95 | 5/4, 16/13, 56/45 | 長3度 | M3 | E | ミ(Mi) | M5 |
| 7 | 442.11 | 32/25, 9/7, 13/10 | 増3度, 減4度 | A3, d4 | E#, Fb | モ(Mo) フェ(Fe) |
A5, d6 |
| 8 | 505.26 | 4/3, 75/56 | 完全4度 | P4 | F | ファ(Fa) | P6 |
| 9 | 568.42 | 25/18, 7/5, 18/13 | 増4度 | A4 | F# | フィ(Fi) | A6, m7 |
| 10 | 631.58 | 36/25, 10/7, 13/9 | 減5度 | d5 | Gb | セ(Se) | M7, d8 |
| 11 | 694.74 | 3/2, 112/75 | 完全5度 | P5 | G | ソ(So) | P8 |
| 12 | 757.89 | 25/16, 14/9, 20/13 | 増5度, 減6度 | A5, d6 | G#, Abb | スィ(Si) ロ(Lo) |
A8, m9 |
| 13 | 821.05 | 8/5, 13/8, 45/28 | 短6度 | m6 | Ab | レ(Le) | M9, m10 |
| 14 | 884.21 | 5/3 | 長6度 | M6 | A | ラ(La) | M10 |
| 15 | 947.37 | 7/4, 12/7, 26/15 | 増6度, 減7度 | A6, d7 | A#, Bbb | リ(Li) タ(Ta) |
m11, A10 |
| 16 | 1010.53 | 9/5, 16/9, 224/125 | 短7度 | m7 | Bb | テ(Te) | M11, m12 |
| 17 | 1073.68 | 15/8, 13/7, 28/15, 24/13 | 長7度 | M7 | B | ティ(Ti) | M12 |
| 18 | 1136.84 | 48/25, 27/14, 25/13 | 増7度, 減8度 | A7, d8 | B#, Cb | ト(To) ダ(Da) |
A12, d13 |
| 19 | 1200.00 | 2/1 | 完全8度, オクターブ | P8 | C | ド(Do) | P13 |
※19平均律を2.3.5.7.13サブグループ音律として扱った場合に基づく。他のアプローチも可能である。
カラー表記においての音程の詳細度数とコードの名前
not completed yet
純正音程への近似
15-奇数リミット音程の写像
次の表は、15-奇数リミット音程が19平均律でどのように表現されるかを示す。主要倍音は太字で、一貫性のない音程は斜体で表す。
| 音程, 補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 6/5, 5/3 | 0.148 | 0.2 |
| 14/13, 13/7 | 1.982 | 3.1 |
| 15/13, 26/15 | 4.891 | 7.7 |
| 18/13, 13/9 | 5.039 | 8.0 |
| 15/14, 28/15 | 6.873 | 10.9 |
| 9/7, 14/9 | 7.021 | 11.1 |
| 10/9, 9/5 | 7.070 | 11.2 |
| 4/3, 3/2 | 7.218 | 11.4 |
| 5/4, 8/5 | 7.366 | 11.7 |
| 13/10, 20/13 | 12.109 | 19.2 |
| 13/12, 24/13 | 12.257 | 19.4 |
| 7/5, 10/7 | 14.091 | 22.3 |
| 7/6, 12/7 | 14.239 | 22.5 |
| 9/8, 16/9 | 14.436 | 22.9 |
| 16/15, 15/8 | 14.585 | 23.1 |
| 11/8, 16/11 | 17.103 | 27.1 |
| 16/13, 13/8 | 19.475 | 30.8 |
| 8/7, 7/4 | 21.457 | 34.0 |
| 12/11, 11/6 | 24.321 | 38.5 |
| 11/10, 20/11 | 24.469 | 38.7 |
| 14/11, 11/7 | 24.597 | 38.9 |
| 13/11, 22/13 | 26.580 | 42.1 |
| 15/11, 22/15 | 31.470 | 49.8 |
| 11/9, 18/11 | 31.539 | 49.9 |
The following tables show how 15-odd-limit intervals are represented in 19edo. Prime harmonics are in bold; inconsistent intervals are in italics.
| Interval and complement | Error (abs, ¢) | Error (rel, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 5/3, 6/5 | 0.148 | 0.2 |
| 13/7, 14/13 | 1.982 | 3.1 |
| 15/13, 26/15 | 4.891 | 7.7 |
| 13/9, 18/13 | 5.039 | 8.0 |
| 15/14, 28/15 | 6.873 | 10.9 |
| 9/7, 14/9 | 7.021 | 11.1 |
| 9/5, 10/9 | 7.070 | 11.2 |
| 3/2, 4/3 | 7.218 | 11.4 |
| 5/4, 8/5 | 7.366 | 11.7 |
| 13/10, 20/13 | 12.109 | 19.2 |
| 13/12, 24/13 | 12.257 | 19.4 |
| 7/5, 10/7 | 14.091 | 22.3 |
| 7/6, 12/7 | 14.239 | 22.5 |
| 9/8, 16/9 | 14.436 | 22.9 |
| 15/8, 16/15 | 14.585 | 23.1 |
| 11/8, 16/11 | 17.103 | 27.1 |
| 13/8, 16/13 | 19.475 | 30.8 |
| 7/4, 8/7 | 21.457 | 34.0 |
| 11/6, 12/11 | 24.321 | 38.5 |
| 11/10, 20/11 | 24.469 | 38.7 |
| 11/7, 14/11 | 24.597 | 38.9 |
| 13/11, 22/13 | 26.580 | 42.1 |
| 15/11, 22/15 | 31.470 | 49.8 |
| 11/9, 18/11 | 31.539 | 49.9 |
| Interval and complement | Error (abs, ¢) | Error (rel, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 5/3, 6/5 | 0.148 | 0.2 |
| 13/7, 14/13 | 1.982 | 3.1 |
| 15/13, 26/15 | 4.891 | 7.7 |
| 13/9, 18/13 | 5.039 | 8.0 |
| 15/14, 28/15 | 6.873 | 10.9 |
| 9/7, 14/9 | 7.021 | 11.1 |
| 9/5, 10/9 | 7.070 | 11.2 |
| 3/2, 4/3 | 7.218 | 11.4 |
| 5/4, 8/5 | 7.366 | 11.7 |
| 13/10, 20/13 | 12.109 | 19.2 |
| 13/12, 24/13 | 12.257 | 19.4 |
| 7/5, 10/7 | 14.091 | 22.3 |
| 7/6, 12/7 | 14.239 | 22.5 |
| 9/8, 16/9 | 14.436 | 22.9 |
| 15/8, 16/15 | 14.585 | 23.1 |
| 11/8, 16/11 | 17.103 | 27.1 |
| 13/8, 16/13 | 19.475 | 30.8 |
| 7/4, 8/7 | 21.457 | 34.0 |
| 11/6, 12/11 | 24.321 | 38.5 |
| 11/10, 20/11 | 24.469 | 38.7 |
| 11/9, 18/11 | 31.539 | 49.9 |
| 15/11, 22/15 | 31.688 | 50.2 |
| 13/11, 22/13 | 36.578 | 57.9 |
| 11/7, 14/11 | 38.561 | 61.1 |
代表的な17-リミット音程
