User:Dummy index/No-1s odd-limit consistency

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Draft in Japanese

(fixed as draft)

一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの用途がある。

  • 実際にmissing fundamentalである場合。
  • ある種の設計目的のため。

前者はここでは考えない。 後者は例としては 23edoである。7-limitのpatent valはこうなる。

Approximation of odd harmonics in 23edo
Harmonic 3 5 7
Error Absolute (¢) -23.7 -21.1 +22.5
Relative (%) -45.4 -40.4 +43.1
Steps
(reduced) 		36
(13) 		53
(7) 		65
(19)

7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが ⟨23 36 53 64] (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。

[[Consistency]]の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 3*3=9 や 3*5=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）

no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする） 

             /  
         /      7/3
     /      5/3     7/5
 /      3/3     5/5     7/7
     /      3/5     5/7
         /      3/7
             /

となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。[[Consistency #Mathematical definition]]に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが ⟨23 6 23 34] でもいいし ⟨23 1036 1053 1064] でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実際に 3/1 のマッピングが完全に自由かはケースバイケースである。23dである ⟨23 36 53 64] と23bcである ⟨23 37 54 65] の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。

no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これが困る、3/1 と 9/3 を違うものとして扱いたいというなら、odd-limitとconsistencyの定義に戻ってdual-fifth化する必要がある。）

no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、9/3 = 3/1 も含めて整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて矛盾は生じない。[[Consistency #Alternative formulation using val]]で証明済みだが、*音程集合に素数倍音の一部または全部が含まれていなくても*音程集合がconsistentならそれを再現するvalが存在する。

GPVとの比較

端的にはval内の値の変化のさせ方が異なる。GPVでは ⟨23 6 23 34] のようなものは出てこない。しかしno-1s 9-odd-limit以上だと逆にvalはEDO毎に1種類しか存在しない。

Translation to English

(work in progress)

No-1s consistency limits of small EDOs

Module:No-1s limits

EDO No-1s consistency limit Associated vals
1 7 1bd, 1c
2 9 2cd
3 5 3bc, 3
4 9 4
5 9 5
6 7 6bcd, 6
7 5 7, 7bc
8 17 8d
9 7 9
10 7 10
11 9 11cd
12 9 12
13 9 13cd
14 11 14c
15 7 15
16 7 16
17 13 17c
18 7 18bcd, 18
19 9 19
20 5 20b, 20c
21 5 21c, 21b
22 11 22
23 7 23d, 23bc
24 5 24
25 5 25
26 13 26
27 11 27e
28 5 28, 28bc
29 15 29
30 7 30bc, 30d
31 11 31
32 5 32b, 32c
33 11 33cd
34 15 34d
35 7 35, 35bcd
36 7 36
37 7 37bcd, 37
38 19 38df
39 11 39d
40 5 40c, 40b
41 15 41
42 7 42bcd, 42
43 7 43
44 5 44
45 15 45ef
46 13 46
47 5 47, 47bc
48 5 48, 48bc
49 17 49fg
50 9 50
51 5 51b, 51c
52 5 52c, 52b
53 9 53
54 9 54c
55 5 55
56 7 56
57 7 57, 57bcd
58 17 58
59 7 59bcd, 59
60 11 60e
61 9 61d
62 7 62
63 7 63
64 13 64cdf
65 5 65
66 13 66cdef
67 9 67c
68 9 68
69 7 69d, 69bc
70 9 70
71 5 71bc, 71
72 17 72

Related: Consistency limits of small EDOs, Monotonicity levels of small EDOs

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