User:Dummy index/No-1s odd-limit consistency
Draft in Japanese
(fixed as draft)
一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの用途がある。
- 実際にmissing fundamentalである場合。
- ある種の設計目的のため。
前者はここでは考えない。 後者は例としては 23edoである。7-limitのpatent valはこうなる。
| Harmonic | 3 | 5 | 7 | |
|---|---|---|---|---|
| Error | absolute (¢) | -23.7 | -21.1 | +22.5 |
| relative (%) | -45 | -40 | +43 | |
| Steps (reduced) |
36 (13) |
53 (7) |
65 (19) | |
7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが ⟨23 36 53 64] (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。
[[Consistency]]の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 3*3=9 や 3*5=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）
no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする）
/
/ 7/3
/ 5/3 7/5
/ 3/3 5/5 7/7
/ 3/5 5/7
/ 3/7
/
となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。[[Consistency #Mathematical definition]]に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが ⟨23 6 23 34] でもいいし ⟨23 1036 1053 1064] でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実際に 3/1 のマッピングが完全に自由かはケースバイケースである。23dである ⟨23 36 53 64] と23bcである ⟨23 37 54 65] の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。
no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。
no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これが困る、3/1 と 9/3 を違うものとして扱いたいというなら、odd-limitとconsistencyの定義に戻ってdual-fifth化する必要がある。）
no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、9/3 = 3/1 も含めて整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて矛盾は生じない。[[Consistency #Alternative formulation using val]]で証明済みだが、*音程集合に素数倍音の一部または全部が含まれていなくても*音程集合がconsistentならそれを再現するvalが存在する。
GPVとの比較
端的にはval内の値の変化のさせ方が異なる。GPVでは ⟨23 6 23 34] のようなものは出てこない。しかしno-1s 9-odd-limit以上だと逆にvalはEDO毎に1種類しか存在しない。
Translation to English
(work in progress)
No-1s consistency limits of small EDOs
| EDO | No-1s consistency limit | Associated vals |
|---|---|---|
| 1 | 7 | 1bd, 1c |
| 2 | 9 | 2cd |
| 3 | 5 | 3bc, 3 |
| 4 | 9 | 4 |
| 5 | 9 | 5 |
| 6 | 7 | 6bcd, 6 |
| 7 | 5 | 7, 7bc |
| 8 | 17 | 8d |
| 9 | 7 | 9 |
| 10 | 7 | 10 |
| 11 | 9 | 11cd |
| 12 | 9 | 12 |
| 13 | 9 | 13cd |
| 14 | 11 | 14c |
| 15 | 7 | 15 |
| 16 | 7 | 16 |
| 17 | 13 | 17c |
| 18 | 7 | 18bcd, 18 |
| 19 | 9 | 19 |
| 20 | 5 | 20b, 20c |
| 21 | 5 | 21c, 21b |
| 22 | 11 | 22 |
| 23 | 7 | 23d, 23bc |
| 24 | 5 | 24 |
| 25 | 5 | 25 |
| 26 | 13 | 26 |
| 27 | 11 | 27e |
| 28 | 5 | 28, 28bc |
| 29 | 15 | 29 |
| 30 | 7 | 30bc, 30d |
| 31 | 11 | 31 |
| 32 | 5 | 32b, 32c |
| 33 | 11 | 33cd |
| 34 | 15 | 34d |
| 35 | 7 | 35, 35bcd |
| 36 | 7 | 36 |
| 37 | 7 | 37bcd, 37 |
| 38 | 19 | 38df |
| 39 | 11 | 39d |
| 40 | 5 | 40c, 40b |
| 41 | 15 | 41 |
| 42 | 7 | 42bcd, 42 |
| 43 | 7 | 43 |
| 44 | 5 | 44 |
| 45 | 15 | 45ef |
| 46 | 13 | 46 |
| 47 | 5 | 47, 47bc |
| 48 | 5 | 48, 48bc |
| 49 | 17 | 49fg |
| 50 | 9 | 50 |
| 51 | 5 | 51b, 51c |
| 52 | 5 | 52c, 52b |
| 53 | 9 | 53 |
| 54 | 9 | 54c |
| 55 | 5 | 55 |
| 56 | 7 | 56 |
| 57 | 7 | 57, 57bcd |
| 58 | 17 | 58 |
| 59 | 7 | 59bcd, 59 |
| 60 | 11 | 60e |
| 61 | 9 | 61d |
| 62 | 7 | 62 |
| 63 | 7 | 63 |
| 64 | 13 | 64cdf |
| 65 | 5 | 65 |
| 66 | 13 | 66cdef |
| 67 | 9 | 67c |
| 68 | 9 | 68 |
| 69 | 7 | 69d, 69bc |
| 70 | 9 | 70 |
| 71 | 5 | 71bc, 71 |
| 72 | 17 | 72 |
Related: Consistency limits of small EDOs, Monotonicity levels of small EDOs
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