User:Dummy index/No-1s odd-limit consistency: Difference between revisions

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7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。

となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが {{val|23 6 23 34}} でもいいし {{val|23 1036 1053 1064}} でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実際に 3/1 のマッピングが完全に自由かはケースバイケースである。23dである {{val|23 36 53 64}} と23bcである {{val|23 37 54 65}} の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これが困る、3/1 と 9/3 を違うものとして扱いたいというなら、odd-limitとconsistencyの定義に戻ってdual-fifth化する必要がある。）

no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、9/3 = 3/1 も含めて整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて矛盾は生じない。<nowiki>[[Consistency #Alternative formulation using val]]</nowiki>で証明済みだが、*音程集合に素数倍音の一部または全部が含まれていなくても*音程集合がconsistentならそれを再現するvalが存在する。