User:Xenwolf/Bra–ket notation

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In quantum mechanics, bra–ket notation is a common notation for quantum states, i.e. vectors in a complex Hilbert space on which an algebra of observables acts. More generally the notation uses the angle brackets (the ⟨ and ⟩ symbols) and a vertical bar (the | symbol), for a ket (/kɛt/) (for example, [math]|v \rangle[/math] ) to denote a vector in an abstract (usually complex) vector space [math]V[/math] and a bra, (/brɑː/) (for example, [math]\langle f|[/math] ) to denote a linear functional on [math]V[/math], i.e. a co-vector, an element of the dual vector space [math] V^\vee[/math]. The natural pairing of a linear functional [math]f = \langle f|[/math] with a vector [math]v = |v\rangle[/math] is then written as [math]\langle f| v\rangle[/math]. On Hilbert spaces, the scalar product [math](\ , \ )[/math] (with anti linear first argument) gives an (anti-linear) identification of a vector ket [math]\phi = |\phi\rangle[/math] with a linear functional bra [math](\phi, \ ) = \langle\phi|[/math]. Using this notation, the scalar product [math] (\phi, \psi) = \langle\phi|\psi\rangle[/math]. For the vector space [math]\mathbb{C}^n[/math], kets can be identified with column vectors, and bras with row vectors. Combinations of bras, kets, and operators are interpreted using matrix multiplication. If [math]\mathbb{C}^n[/math] has the standard hermitian inner product [math](v, w) = v^\dagger w[/math], under this identification, the identification of kets and bras and vice versa provided by the inner product is taking the hermitian conjugate [math] \dagger[/math].

It is common to suppress the vector or functional from the bra–ket notation and only use a label inside the typography for the bra or ket. For example, the spin operator [math]\sigma_z[/math] on a two dimensional space [math]\Delta[/math] of spinors, has eigenvalues [math]\pm[/math]½ with eigenspinors [math]\psi_+,\psi_- \in \Delta[/math]. In bra-ket notation one typically denotes this as [math]\psi_+ = |+\rangle[/math], and [math]\psi_- = |-\rangle[/math]. Just as above, kets and bras with the same label are interpreted as kets and bras corresponding to each other using the inner product. In particular when also identified with row and column vectors, kets and bras with the same label are identified with Hermitian conjugate column and row vectors.

Bra–ket notation was effectively established in 1939 by Paul Dirac (Dirac 1939)(Shankar 1994) and is thus also known as the Dirac notation. (Still, the bra-ket notation has a precursor in Hermann Grassmann's use of the notation [math][\phi{\mid}\psi][/math] for his inner products nearly 100 years earlier. (Grassmann 1862),(#Video))

Dirac-Notation

Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums [math]V[/math] auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket [math]| v \rangle[/math]. Jedem Ket [math]| v \rangle[/math] entspricht ein Bra [math]\langle v | \, ,[/math] der dem Dualraum [math]V^*[/math] angehört, also eine lineare Abbildung von [math]V[/math] in den zu Grunde liegenden Körper [math]K[/math] repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras [math]\langle v |[/math] auf einen Ket [math]| w \rangle[/math] wird [math]\langle v | w \rangle[/math] geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem Hilbert-Raum handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem Satz von Fréchet-Riesz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket [math]|v\rangle[/math] existiert das entsprechende Bra [math] \langle v|[/math], und umgekehrt.

Video

Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford), Leonard Susskind on complex numbers, complex conjugate, bra, ket. 2006-10-02.

Lecture 2 of Leonard Susskind's course concentrating on Quantum Entanglements (Part 1, Fall 2006).

Recorded October 2, 2006 at Stanford University.

This Stanford Continuing Studies course is the first of a three-quarter sequence of classes exploring the "quantum entanglements" in modern theoretical physics. Leonard Susskind is the Felix Bloch Professor of Physics at Stanford University.

References