21平均律

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21平均律は、7平均律類と増の音のしっかりとした特徴を提供する。またいくつかの良い協和の可能性を提供し、また、アポトメのような面白い音程を提供する。21平均律システムは3つの7平均律が結びついたものとして扱うことができ、また均等な7音音階として扱うことができ、また7つの3平均律が「増加された」トライアドとして扱うことができる。968.826セントの7/421音からたったの2.6セントのみはずれており、ほかの平均律よりも近い。

21平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=21, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
21 0 0.00 0.00
1 57.14 17.14
2 114.29 34.29 minor diatonic semitone ダイアトニックの短2度 16/15 2.55 111.73 0.77 33.52
2 114.29 34.29 major diatonic semitone ダイアトニックの長2度 15/14 -5.16 119.44 -1.55 35.83
2 114.29 34.29 2/3-tone 2/3全音 14/13 -14.01 128.30 -4.20 38.49
3 171.43 51.43 minor whole tone 小全音 11/10 6.42 165.00 1.93 49.50
3 171.43 51.43 minor whole tone 小全音 10/9 -10.98 182.40 -3.29 54.72
4 228.57 68.57 septimal whole tone 7リミットの全音 8/7 -2.60 231.17 -0.78 69.35
5 285.71 85.71 tridecimal minor third 13リミットの短3度 13/11 -3.50 289.21 -1.05 86.76
6 342.86 102.86 undecimal neutral third 11リミットの中立3度 11/9 -4.55 347.41 -1.37 104.22
6 342.86 102.86 tridecimal neutral third 13リミットの中立3度 16/13 -16.62 359.47 -4.98 107.84
7 400.00 120.00 major third 長3度 5/4 13.69 386.31 4.11 115.89
8 457.14 137.14 tridecimal semi-diminished fourth 13リミットの準減4度 13/10 2.93 454.21 0.88 136.26
9 514.29 154.29 perfect fourth 完全4度 4/3 16.24 498.04 4.87 149.41
10 571.43 171.43 septimal or Huygens' tritone, BP fourth 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 7/5 -11.08 582.51 -3.33 174.75
11 628.57 188.57 Euler's tritone レオンハルト・オイラーの3全音 10/7 11.08 617.49 3.33 185.25
11 628.57 188.57 tridecimal diminished fifth 13リミットの減5度 13/9 -8.05 636.62 -2.41 190.99
12 685.71 205.71 perfect fifth 完全5度 3/2 -16.24 701.96 -4.87 210.59
13 742.86 222.86
14 800.00 240.00 minor sixth 短6度 8/5 -13.69 813.69 -4.11 244.11
15 857.14 257.14 tridecimal neutral sixth 13リミットの中立6度 13/8 16.62 840.53 4.98 252.16
16 914.29 274.29
17 971.43 291.43 harmonic seventh 第7倍音 7/4 2.60 968.83 0.78 290.65
18 1028.57 308.57 just minor seventh, BP seventh 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 9/5 10.98 1017.60 3.29 305.28
19 1085.71 325.71 16/3-tone 16/3全音 13/7 14.01 1071.70 4.20 321.51
19 1085.71 325.71 classic major seventh 古典的な長7度 15/8 -2.55 1088.27 -0.77 326.48
20 1142.86 342.86
21 1200.00 360.00

テンペラメントとしての21平均律

ダイアトニックに関連した視点から見ると、21平均律は2度の4つのタイプ(subminorminorsubmajorsupermajor)、そして3度の3つのタイプ(subminorneutralmajor)、third-fourthsupermajor 3rdとも、狭い4度とも見なせる音程)、広い(鋭い)4度、そして狭い3全音、同様にこれらすべてのオクターブを分割したものを所有する。

テンペラメントの視点から見ると、21平均律は3571113による13リミットテンペラメントとして扱うことができる。しかし、21平均律が純正に近い倍音だけ7倍音である。一方、21平均律は例外的に3セント以下の値となる152329倍音の鋭いチューニングであり、同様に27倍音とは8セント以内という合理的な近似を示す。そのようにして、2.7.15.23.27.29サブグループテンペラメントとして21平均律を扱うとき、より鋭い合理的なチューニングを認めることになる。なぜなら21平均律の音程はそれぞれ29アドリミット内で述べられるからである。21平均律はまた、2.9/5.11/5.13/5.17/5.35/5サブグループとしてもよく働き、これはよりセンシティブな可能性である。

21音音階

augment6

augment9

augment12

21平均律の3和音の響き

21平均律のおもしろい特徴の1つは、さまざまなトライアドのバラエティーである。228.6285.7342.9400457.1セントは3度のカテゴリーの機能をし、artominorneutralmajortendo3度といった聞きなれたダイアトニック音程のカテゴリーとなる。21平均律の狭い5度と5つのタイプの3度で3和音を作ることができる。付け加えるなら、幾分か注目すべき倍音による代替3和音は以下になる。

Steps Cents Ratio
0-5-10 0-286-571 23:27:32
0-4-11 0-229-629 7:8:10
0-6-11 0-343-629 9:11:13
0-5-13 0-286-743 11:13:17
0-8-13 0-457-743 13:17:20
0-5-15 0-286-857 11:13:18

21平均律のMOS音階

21平均律は子平均律として37を含むため、7MOS音階は持たず、1/3オクターブをピリオドとして反復した音階を持つ。1/3オクターブピリオドを使う7リミットの響き(0-7-12-17という4:5:6:7コードにもとづく)のため、もっとも効率的なハーモニーの音階が産出される。3L6s9音音階(12平均律のTcherpnin音階に関連する)は、素晴らしい例である。

フルオクターブをピリオドとする音階の場合、21平均律のたった6音程が独特の音階を作る。1212214215218211021である。他の音程は7平均律または3平均律、またはその他の音階の反復で生成される。

21平均律のテトラコード音階

21平均律がいくつかの7MOS音階を欠如しているため、21平均律はさまざまな便利で面白い7音音階を構築でき、それはMOSジェネレーターの代わりのテトラコードとして使える。21平均律の4度は9ステップで、次のような3パートで分割できる。

Step Pattern Cents Name*
3, 3, 3 0-171-343-514 Equable diatonic
4, 3, 2 0-229-400-514 Soft diatonic
4, 4, 1 0-229-457-514 Intense diatonic
5, 3, 1 0-286-457-514 Archytas chromatic
5, 2, 2 0-286-400-514 Weak chromatic
6, 2, 1 0-343-457-514 Strong enharmonic
7, 1, 1 0-400-457-514 Pythagorean enharmonic

ノート:これらの名前はGreek氏の古いtetrachordal generaによって集められているため、よりよいものがあれば書き換えてほしい。

これら7つの基本的なパターンは、また順序を変え回転させ、結果的に28のテトラコードを生成させる。結合、また結合しなかった形はふらつくような音階の数を生成するため組み合わせられる。したがって、21平均律は合理的で説得力のある、伝統的な音楽のさまざまなテトラコードの形をもったメロディーをコピーしたものとすることができる。

ランク2テンペラメント

悪い21EDOランク2テンペラメントのリスト

Periods

per octave

Generator Temperaments
1 1\21 Escapade
1 2\21 Miracle
1 4\21 Slendric/Gorgo/Gidorah
1 5\21 Subklei
1 8\21 Tridec
1 10\21 Triton
3 1\21
3 2\21 Augmented/August
3 3\21
7 1\21 Whitewood

13リミットコンマをなだらかにする

21平均律を< 21 33 49 59 73 78|ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

2187/2048 | -11 7 > 113.69 Apotome
128/125 | 7 0 -3 > 41.06 Diesis Augmented Comma
9931568/9752117 | -25 7 6 > 31.57 Ampersand's Comma
9193891/9143623 | 32 -7 -9 > 9.49 Escapade Comma
1029/1000 | -3 1 -3 3 > 49.49 Keega
36/35 | 2 2 -1 -1 > 48.77 Septimal Quarter Tone
9859966/9733137 | -10 7 8 -7 > 22.41 Blackjackisma
1029/1024 | -10 1 0 3 > 8.43 Gamelisma
225/224 | -5 2 2 -1 > 7.71 Septimal Kleisma Marvel Comma
16875/16807 | 0 3 4 -5 > 6.99 Mirkwai
2401/2400 | -5 -1 -2 4 > 0.72 Breedsma
394839/394762 | 47 -7 -7 -7 > 0.34 Akjaysma 5\7 Octave Comma
99/98 | -1 2 0 -2 1 > 17.58 Mothwellsma
176/175 | 4 0 -2 -1 1 > 9.86 Valinorsma
4000/3993 | 5 -1 3 0 -3 > 3.03 Wizardharry