User:Xenwolf/Bra–ket notation: Difference between revisions
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Bra–ket notation was effectively established in 1939 by Paul Dirac (Dirac 1939)(Shankar 1994) and is thus also known as the '''Dirac notation'''. (Still, the bra-ket notation has a precursor in Hermann Grassmann's use of the notation <math>[\phi{\mid}\psi]</math> for his inner products nearly 100 years earlier. (Grassmann 1862),([[#Video]])) | Bra–ket notation was effectively established in 1939 by Paul Dirac (Dirac 1939)(Shankar 1994) and is thus also known as the '''Dirac notation'''. (Still, the bra-ket notation has a precursor in Hermann Grassmann's use of the notation <math>[\phi{\mid}\psi]</math> for his inner products nearly 100 years earlier. (Grassmann 1862),([[#Video]])) | ||
== Dirac-Notation == | |||
Die '''Dirac-Notation''', auch '''Bra-Ket-Notation''', ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (''bracket''). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert. | |||
In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums <math>V</math> auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als '''Ket''' <math>| v \rangle</math>. Jedem Ket <math>| v \rangle</math> entspricht ein '''Bra''' <math>\langle v | \, ,</math> der dem Dualraum <math>V^*</math> angehört, also eine lineare Abbildung von <math>V</math> in den zu Grunde liegenden Körper <math>K</math> repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras <math>\langle v |</math> auf einen Ket <math>| w \rangle</math> wird <math>\langle v | w \rangle</math> geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist. | |||
In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem Hilbert-Raum handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem Satz von Fréchet-Riesz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind. In unserem Zusammenhang: Zu jedem Ket <math>|v\rangle</math> existiert das entsprechende Bra <math> \langle v|</math>, und umgekehrt. | |||
== Video == | == Video == | ||
[https://www.youtube.com/watch?v=VtBRKw1Ab7E&t=2561 Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford)], Leonard Susskind on complex numbers, complex conjugate, bra, ket. 2006-10-02. | [https://www.youtube.com/watch?v=VtBRKw1Ab7E&t=2561 Lecture 2 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford)], Leonard Susskind on complex numbers, complex conjugate, bra, ket. 2006-10-02. | ||
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== References == | |||
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Bra%E2%80%93ket_notation Bra–ket notation - Wikipedia] | |||
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Notation Dirac-Notation – Wikipedia] | |||
* [https://www.youtube.com/watch?v=2vvjrBbcTZU Dualraum - intuitiv erklärt! | Math Intuition - YouTube] (German) | |||
* [https://www.youtube.com/watch?v=KK_fHodz-lQ LINEARE ABBILDUNG / Homomorphismus einfach erklärt! | Math Intuition - YouTube] (German) | |||
* [https://www.youtube.com/watch?v=TjAFH6hWg1I Bilinearform einfach erklärt :) | Math Intuition - YouTube] (German) | |||