User:Dummy index/No-1s odd-limit consistency

(under construction and not yet translation)

一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの目的がある。

実際にmissing fundamentalである場合。
ある種の設計目的のため。

前者はここでは考えない。後者は例としては 23edoである。7-limitのpatent valはこうなる。

Approximation of odd harmonics in 23edo
Harmonic		3	5	7
Error	Absolute (¢)	-23.7	-21.1	+22.5
Error	Relative (%)	-45.4	-40.4	+43.1
Steps (reduced)		36 (13)	53 (7)	65 (19)

7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが ⟨23 36 53 64] (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求められないか？

[[Consistency]]の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が来る、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただ残念ながらno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。

no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする）

             /  
         /      7/3
     /      5/3     7/5
 /      3/3     5/5     7/7
     /      3/5     5/7
         /      3/7
             /

となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。[[Consistency #Mathematical definition]]に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが⟨23 6 23 34]でもいいし⟨23 1036 1053 1064]でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実はこれは問題にならない。23dである⟨23 36 53 64]と23bcである⟨23 37 54 65]の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

no-1s 5-odd-limitの場合近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。

no-1s 9-odd-limitの場合 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。ただ 3/5 の段階ですでに誤差が大きく、9/5 で誤差が繰り上がった場合、得られるのが 3/1 のsecond-best mappingとなるので、9/1 はsecond-best mappingを2個積む事になり誤差が大きいかもしれないことは注意が必要である。しかしこれが唯一valとして成立するマッピングであるので仕方ない。

no-1s 15-odd-limitの場合