User:Zhenlige/RTT notes

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[math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math]：向量vector [math]\displaystyle{ \overleftarrow{a} }[/math]：covector

对偶范数 dual norm

若向量范数[math]\displaystyle{ f(\vec{a}),g(\vec{b}) }[/math]使[math]\displaystyle{ g(\vec{b})=\sup\left\{x\Big|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{a})},\vec{a}\neq\vec{0}\right\} }[/math]且[math]\displaystyle{ f(\vec{a})=\sup\left\{x\Big|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{b})},\vec{b}\neq\vec{0}\right\} }[/math]，则称[math]\displaystyle{ f,g }[/math]为对偶范数。

定理：欧式范数的对偶为自身。证明：显然。

定理：[math]\displaystyle{ p }[/math]范数[math]\displaystyle{ \|\vec{a}\|_p=\left(\sum_ia_i^p\right)^\frac1p,p>1 }[/math]的对偶范数为[math]\displaystyle{ q }[/math]范数，其中[math]\displaystyle{ q=\frac{p}{p-1} }[/math]。1范数的对偶为∞范数[math]\displaystyle{ \|\vec{a}\|_\infty=\lim\limits_{p\to\infty}\|\vec{a}\|_p=\max|a_i| }[/math]。

证明：注意到[math]\displaystyle{ (p-1)(q-1)=1 }[/math]。考虑函数[math]\displaystyle{ f_p(\vec{a})=\sum_ia_i^p=\|\vec{a}\|_p^p }[/math]，其梯度为[math]\displaystyle{ \nabla f_p(\vec{a})=p\begin{bmatrix}a_1^{p-1}&a_2^{p-1}&\cdots&a_n^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T} }[/math]。

对于任意向量[math]\displaystyle{ \vec{a}=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^\mathrm{T} }[/math]，考虑向量[math]\displaystyle{ \vec{b}=\begin{bmatrix}a_1^{p-1}&a_2^{p-1}&\cdots&a_n^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T} }[/math]