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Wikipediaによるレギュラーテンペラメントとランクテンペラメントの解説

Xenharmonic Wikiの「Regular Temperaments」は少々難解な個所が多く、全貌がつかみにくいため、Wikipediaの「Regular temperament」の翻訳をまず示し、解読の容易化を図る。また、ランクrテンペラメントの解説も比較的よくまとめられている。

原文『Wikipedia』：https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_temperament oldid=1139233514

概要

レギュラーテンペラメントとは、任意のテンパーされたミュージカル調律システムである。各周波数比は有限個のジェネレーター（周波数比）の冪の積として得られる。例えば西洋でよく使われる12平均律は、テンパーされた5度（700 セント）をジェネレーターとして持ち、これが五度圏を閉じる鍵となっている。

ジェネレーターをちょうど 2 個持ち、その片方がオクターブである場合、それはリニアテンペラメントと呼ばれる。最も知られている例としては、ミーントーンであり、それはジェネレーター音程が通常わずかにフラットにされた5度とオクターブとなる。他のリニアテンペラメントとしてはschismatic temperament, Hermann von Helmholtz, miracle temperamentがある。

数学的な記述

もしジェネレーターが素数 p 以下のすべての素数であるならば、我々はそれをp-limit純正調と呼ぶ。テンパーの方法の例として、何らかの無理数が、近似するこれら素数のひとつを置換することで他の素数を支持する（その素数で生成できるようになる。線形従属になる。実質的にジェネレーターが1個減る）。12平均律の 3 は 2^19/12 にテンパーされ 2 を支持し、1/4コンマミーントーンの 3 は 2 * 5^1/4 にテンパーされ 2 と 5 を支持する。

（中略）

レギュラーテンペラメントについて学ぶとき、テンペラメントをp-limit純正調からテンパーされた音程集合へのマップ（写像、関数）とみなすと便利である。テンペラメントの次元を適切に分類するため、一体いくつのジェネレーターが線形独立なのかということを決定する必要がある。なぜならば、その記述は冗長である場合があるからである。この問題のもう一方の見方は、テンペラメントのランクを、このマップの写像先の像のランクとすることである。

たとえば、おそらくチェンバロに使われた1/4コンマミーントーンは、3 つのジェネレーターをもつ。すなわち 1 オクターブと、純正長3度（5/4）と、1/4コンマテンパード5度である。しかし 4 つ積み重ねられたテンパード5度が純正長3度を作るため、長3度が余剰であり、ランク2テンペラメントに縮小することになる。

他の手法として線形代数と多重線型代数が、そのマップに適用される。たとえば、マップのカーネル（零空間）はp-limit純正音程（コンマと呼ばれる）によって構成される。コンマはテンペラメントを表現するのに便利なプロパティである。

Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説

原文『Xenharmonic wiki』：Mathematical theory of regular temperaments

原文『Xenharmonic wiki』：Regular temperament

Mathematical theory of regular temperaments (introduction)

レギュラーテンペラメントは対象の（純正）音程のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への準同型写像である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群である(aka p-limit JI)。テンパーとは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（テンパーアウトという）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。音階は、厳密な純正律に比べ単純であり、協和する音程を多く持つ。これは高いレベルの協和、または純正律の近似を維持することによる。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入することである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより単純化するのである。

数学的に言うと、レギュラーテンペラメントは定義域を近似したいJI等とし、値域をテンパーされた音程群とする関数である。一般的にはこの写像は多対一である。2つの異なる有理数が同じテンパーされた音程に写像されることがある。これをtempered togetherという。

例えば、7リミット純正調のピッチ間の関係性は、7 までの素数（2, 3, 5, 7）の軸で表される 4 次元で考えることができ、全ての音程は 4 次元座標で位置づけられる。7リミットレギュラーテンペラメントにおいて、しかしながら、どうにかして次元は減少される。それはテンパーアウトされるコンマに依存する。そして音程はうまく調整され 1, 2 または 3 次元の座標で位置づけられる。次元数の減少はテンパーアウトされたコンマの数に依存する。テンパー後の次元数がテンペラメントのランクである。

具体例として、7リミットミーントーンテンペラメントを関数 M とすると、M(6/5) = M(32/27) = "minor third" である。2つの純正音程の差（周波数比）である 81/80（シントニックコンマ）はテンパーアウトされている。すなわち M(81/80) = M(1/1) = "unison" である。

各レギュラーテンペラメントは抽象的なもので、特定のチューニングを決定してしまうものではない。任意のテンペラメントの最適なチューニングを計算で求めることができるが、最適性の尺度はいくつも存在していてそれぞれチューニング結果も異なることになる。そのため、各テンペラメントにはチューニング可能な範囲（ジェネレーターのサイズの範囲で示される）がある、というように取り扱うことが多い。ジェネレーターのチューニングが与えられると、任意のテンパーされた音程はジェネレーターの整数係数線形結合として計算できる。この性質がテンペラメントをレギュラーたらしめている。

Mathematical theory of regular temperaments (Dimensionality, or rank)

特定の調律（つまり周波数比決定済み）におけるランク-r レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた r 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク-r テンペラメントは r 個のジェネレーターにより定義され、従って r 行のヴァルである。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントのマッピングを定義する r 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。

（後略）

Regular temperament (introduction)

レギュラーテンペラメントは抽象的なチューニングシステムである。それは基準周波数や主音（モード）について関知しない。言い換えると、いくらでもオクターブを変えていいしいくらでも音程を積み重ねることができる。レギュラーテンペラメントは一般的には無限個の音高を持ち、平均律以外なら実際のところ任意の2音間に無限個の音高を持っている。

無制限の変調に加えて、レギュラーテンペラメントは対象となる煩雑な純正律のより簡潔な近似となる。それぞれの抽象的な音程はテンパーされた、あるいはデチューンされた音程に変換される。テンペラメントがレギュラーテンペラメントであるというためには、この変換が完全に一貫した方法で行われる必要がある。例として、2つのテンパーされた音程を積み重ねたものは2つの純正音程を積み重ねた純正音程をテンパーしたものでなければいけない。複数の純正音程が同じテンパーされたインターバルにマップされる場合があるが、ある純正音程は（どの音高から生えていようと）必ず同じテンパーされた音程にマップされなければならない。

特にシンプルな種類のレギュラーテンペラメントが平均律である。全ての音程が最小ステップの整数倍（1種類の音程の積み重ね）となる。また別の極端な例として、純正律そのものが、全くテンパーをしない自明なテンペラメントとして位置づけられる。どのコンマもテンパーアウトされず、そのままの微小なピッチ差として残る。両者の間に広がるテンペラメントの宝庫がPaul Erlichの独創的成果：A Middle Path Between Just Intonation and the Equal Temperaments にて述べられている。

Regular temperament (FAQ なぜ私はレギュラーテンペラメントを使いたがるのか)

レギュラーテンペラメントが使用されるのは、音楽家が可能な限り純正律のような響きを求めるとき、しかし通常は純正律と関係づけられている困難、たとえばウルフの音程や、コンマがあることや、コンマポンプによるピッチシフトを避けたいときである。また音楽家に独特の可能性を開拓するという興味をもたらすのである。独特の可能性とは、周波数比が純正律と異なるものを同等とみなすとき生じるものである。たとえば、ミーントーンにおいては 10/9 と 9/8 を同等とされる。テンペラメントを通じて異なる周波数比を同等とみなすことは、音楽的「語呂合わせ」の構築を可能にする。それは、テンパーされた音程の「意味」の多重性を利用するメロディーやコード進行である。あるいは単に音の響きで選ばれることもある。たとえば、ある人は中立3度の響きを好んでいて、それはどんな周波数比に調整されているかは問題ではないかもしれない。その人はコンマをポンプする予定がなくてもRastmicテンペラメントを使うかもしれない。

Regular temperament (FAQ テンペラメントのページにいっぱい数値が書いてあるんですがどう読めばいいですか？)

レギュラーテンペラメントの概念は数世紀の歴史があり現代数学に先行してきました。ですがYahoo!グループの参加者達によってテンペラメントの特性を記述する数学的記法が開発されました。中でも重要なのがヴァル（マッピング）、モンゾ、テンパーアウトです。レギュラーテンペラメントに学ぶ者はまずこれらに慣れ親しむ必要があります。大丈夫です、数学的に高度なことは言っていないので、きちんと概念の区別がつくようになれば…

テンペラメントのランクとは次元数のことです（行列でいうところの階数です）。それは対象となる群（例えば純正律）の素元（純正律なら素数）の数から、テンパーアウトされる独立なコンマの数を引いたものです。

近年この分野に貢献があったのが、種々の数理最適化として捉えるという視点です。最適化はテンペラメントとJIとの差を最小化する最適なジェネレーターを見つけることです。最もよく使われる最適化がPOTE tuningとTOP tuningです。最適化はだいぶ数学的ですが、ここの読者が自力でやる場面はほとんどありません。本サイトで示されているテンペラメントの大部分はPOTEの結果も一緒に記述されています。また、それぞれのテンペラメントについて、最適な平均律のリスト（分割数の小さい順かつ誤差が改善されてゆく順）が示されています。