User:Dummy index/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
(under construction)
Wikipediaによるレギュラーテンペラメントとランクテンペラメントの解説
Xenharmonic Wikiの「Regular Temperaments」は少々難解な個所が多く、全貌がつかみにくいため、Wikipediaの「Regular temperament」の翻訳をまず示し、解読の容易化を図る。また、ランクrテンペラメントの解説も比較的よくまとめられている。
原文『Wikipedia』：https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_temperament oldid=1139233514
概要
レギュラーテンペラメントとは、任意のテンパーされたミュージカル調律システムである。各周波数比は有限個のジェネレーター（周波数比）の冪の積として得られる。例えば西洋でよく使われる12平均律は、テンパーされた5度（700 セント）をジェネレーターとして持ち、これが五度圏を閉じる鍵となっている。
ジェネレーターをちょうど 2 個持ち、その片方がオクターブである場合、それはリニアテンペラメントと呼ばれる。最も知られている例としては、ミーントーンであり、それはgenerating intervalが通常わずかにフラットにされた5度とオクターブとなる。他のリニアテンペラメントとしてはschismatic temperament, Hermann von Helmholtz, miracle temperamentがある。
数学的な記述
もしジェネレーターが素数 p 以下のすべての素数であるならば、我々はそれをp-limit純正調と呼ぶ。テンパーの方法の例として、何らかの無理数が、近似するこれら素数のひとつを置換することで他の素数を支持する（その素数で生成できるようになる。線形従属になる。実質的にジェネレーターが1個減る）。12平均律の 3 は 219/12 にテンパーされ 2 を支持し、1/4コンマミーントーンの 3 は 2 * 51/4 にテンパーされ 2 と 5 を支持する。
（中略）
レギュラーテンペラメントについて学ぶとき、テンペラメントをp-limit純正調からテンパーされた音程集合へのマップ（写像、関数）とみなすと便利である。テンペラメントの次元を適切に分類するため、一体いくつのジェネレーターが線形独立なのかということを決定する必要がある。なぜならば、その記述はおそらく余剰性を含むからである。この問題のもう一方の見方は、テンペラメントのランクを、このマップの写像先の像のランクとすることである。
たとえば、おそらくチェンバロに使われた1/4コンマミーントーンは、3 つのジェネレーターをもつ。すなわち 1 オクターブと、純正長3度（5/4）と、1/4コンマテンパード5度である。しかし 4 つ積み重ねられたテンパード5度が純正長3度を作るため、長3度が余剰であり、ランク2テンペラメントに縮小することになる。
他の手法として線形代数と多重線型代数が、そのマップに適用される。たとえば、マップのカーネル（あるいは零空間）はp-limit純正音程（コンマと呼ばれる）によって構成される。コンマはテンペラメントを表現するのに便利なプロパティである。
Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説
原文『Xenharmonic wiki』：Mathematical theory of regular temperaments
原文『Xenharmonic wiki』：Regular temperament
Mathematical theory of regular temperaments (introduction)
レギュラーテンペラメントは対象の純正音程のアーベル群からテンパーされた音程のアーベル群への準同型写像である。典型的には、定義域は有理数の乗法的部分群(p-limit or JI subgroup)である。テンパーとは、故意にチューニングを変更することによってコンマ、またはコンマのセットが「消され」、ユニゾンになること（テンパーアウトという）によって実行される。レギュラーテンペラメントの有用性の一部は、音階を生成することである。音階は、厳密な純正律に比べ単純で、協和する音程を持つ。これは高いレベルの協和、または純正律の近似を維持することによる。そして他の一部は、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を導入するのである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより単純化するのである。
In mathematical terms, it is a function whose domain is a target tuning we wish to approximate, and its range is the intervals of the temperament. In general, this mapping is many-to-one, and two different rational numbers may be mapped to the same tempered interval — in this case we say that the two JI intervals are tempered together.
例えば、7リミット純正調のピッチ間の関係性は、7 までの素数（2, 3, 5, 7）の軸で表される 4 次元で考えることができ、全ての音程は 4 次元座標で位置づけられる。7リミットレギュラーテンペラメントにおいて、しかしながら、どうにかして次元は減少される。それはテンパーアウトされるコンマに依存する。そして音程はうまく調整され 1, 2 または 3 次元の座標で表記される。それはテンパーアウトされたコンマの数に依存する。テンパー後の次元数がテンペラメントのランクである。
（後略）
Mathematical theory of regular temperaments (Dimensionality, or rank)
特定の調律におけるランク r レギュラーテンペラメントはおそらく、与えられた r 個の乗法的に独立した実数により定義されるだろう。それら実数を掛け合わせることでそのテンペラメントの音程が生成できる。ランク r テンペラメントは r 個のジェネレーターにより定義され、従って r 行のヴァルである。抽象的レギュラーテンペラメントは、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされるコンマのセットで与えることで定義されたり、テンペラメントのマッピングを定義する r 行のヴァルを与えるというやり方だったりする。テンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマポンプである。和声的に関連する音符やコードのシーケンスにより、開始地点に戻る。それらは純正律では不可能なことである。例としては、ミーントーンテンペラメントの I-vii-IV-ii-V-I である。
（後略）
Regular temperament (introduction)
レギュラーテンペラメントは抽象的なチューニングシステムである。それはピッチ（特定の周波数）について関知しない。言い換えると、いくらでもオクターブを変えていいしいくらでも音程を積み重ねることができる。レギュラーテンペラメントは一般的には無限個の音高を持ち、平均律以外なら実際のところ任意の2音間に無限個の音高を持っている。（訳注：あえてここでnoteを音名と訳して、えっ、無限個の音名どうつけてるの→純正音程の周波数比が無限個あって最初から名前がついているようなものやでとしたらどうか）
無制限の変調に加えて、レギュラーテンペラメントは対象となる煩雑な純正律のより簡潔な近似となる。それぞれの抽象的な音程はテンパーされた、あるいはデチューンされた音程に翻訳される。テンペラメントがレギュラーテンペラメントであるというためには、この翻訳が完全に一貫した方法で行われる必要がある。例として、2つのテンパーされた音程を積み重ねたものは2つの純正音程を積み重ねたもののテンパーされたものでなければいけない。複数の純正音程が同じテンパーされたインターバルにマップされる場合があるが、ある純正音程は（どの音高から生えていようと）必ず同じテンパーされた音程にマップされなければならない。
One particularly simple kind of regular temperaments is the equal temperaments, which represent all intervals by multiples of a single smallest step. At the other extreme, JI itself can be considered a trivial temperament where no tempering is happening: no commas are tempered out, but all are preserved as small pitch differences. In between lies the cornucopia of temperaments discussed in Paul Erlich's seminal work, A Middle Path Between Just Intonation and the Equal Temperaments.
Regular temperament (FAQ なぜ私はレギュラーテンペラメントを使いたがるのか)
レギュラーテンペラメントが使用されるのは、音楽家が可能な限り純正律のような響きを求めるとき、しかし通常は純正律と関係づけられている困難、たとえばウルフの音程や、コンマがあることや、コンマポンプによるピッチシフトを避けたいためである。また音楽家に独特の可能性を開拓するという興味をもたらすのである。独特の可能性とは、周波数比が純正律と異なるものを同等とみなすとき生じるものである。たとえば、ミーントーンにおいては 10/9 と 9/8 を同等とされる。テンペラメントを通じて異なる周波数比を同等とみなすことは、音楽的「語呂合わせ」の構築を可能にする。それは、テンパーされた音程の「意味」の多重性を利用するメロディーやコード進行である。たとえば、ある人は中立3度の響きを好んでいて、それはどんな周波数比に調整されているかは問題ではないのかもしれない。その人はコンマをポンプする予定がなくてもRastmicテンペラメントを使うかもしれない。