User:Dummy index/レギュラーテンペラメントとランクrテンペラメント
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Wikipediaによるレギュラーテンペラメントとランクテンペラメントの解説
Xenharmonic Wikiの「Regular Temperaments」は少々難解な個所が多く、全貌がつかみにくいため、Wikipediaの「Regular temperament」の翻訳をまず示し、解読の容易化を図る。また、ランクrテンペラメントの解説も比較的よくまとめられている。
原文『Wikipedia』：https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_temperament oldid=1139233514
概要
レギュラーテンペラメントとは、任意のテンパーされたミュージカル調律システムである。各周波数比は有限個のジェネレーター（周波数比）の冪の積として得られる。例えば西洋でよく使われる12平均律は、テンパーされた5度（700 セント）をジェネレーターとして持ち、これが五度圏を閉じる鍵となっている。
ジェネレーターをちょうど 2 個持ち、その片方がオクターブである場合、それはリニアテンペラメントと呼ばれる。最も知られている例としては、ミーントーンであり、それはgenerating intervalが通常わずかにフラットにされた5度とオクターブとなる。他のリニアテンペラメントとしてはschismatic temperament, Hermann von Helmholtz, miracle temperamentがある。
数学的な記述
もしジェネレーターが素数 p 以下のすべての素数であるならば、我々はそれをp-limit純正調と呼ぶ。テンパーの方法の例として、何らかの無理数が、近似するこれら素数のひとつを置換することで他の素数を支持する（その素数で生成できるようになる。線形従属になる。実質的にジェネレーターが1個減る）。12平均律の 3 は 219/12 にテンパーされ 2 を支持し、1/4コンマミーントーンの 3 は 2 * 51/4 にテンパーされ 2 と 5 を支持する。
（中略）
レギュラーテンペラメントについて学ぶとき、テンペラメントをp-limit純正調からテンパーされた音程集合へのマップ（写像、関数）とみなすと便利である。テンペラメントの次元を適切に分類するため、一体いくつのジェネレーターが線形独立なのかということを決定する必要がある。なぜならば、その記述はおそらく余剰性を含むからである。この問題のもう一方の見方は、テンペラメントのランクを、このマップの写像先の像のランクとすることである。
たとえば、ハープシコードチューナーは、おそらく3つのジェネレーターをもつクオーターコンマミーントーンチューニングと考えられる。すなわち1オクターブと、純正長3度（5/4）と、クオーターコンマテンパードフィフスである。しかし4つの連続したテンパーされた5度は、純正長3度、長3度が余剰であり、ランク2テンペラメントを縮小させる。
他の手法であるlinear algebraとmultilinear algebraは、そのマップに適用される。たとえば、「nullspace」として知られるkernelマップは、p-limit音程によって構成され、それはコンマと呼ばれる。コンマはテンペラメントを表現するのに便利な財産である。
Xenharmonic wikiによるRegular Temperamentの解説
原文「Xenharmonic wiki」：Regular Temperaments
レギュラーテンペラメント
レギュラーテンペラメントは、純正律ではない。そこにはp-limit純正調（またはいくつかのサブグループ）に含まれる無限の音程がある。無限の音程は、より小さなテンパーされた（まだ無限だけども）音程のセットにマッピングされる。テンパーされた音程とは、「tempering」（故意にチューニングを変更する）によって、コンマ、またはコンマのセットを「消され」、ユニゾンにされた音程である。レギュラーテンペラメントの有用性は、ある程度の音階を生成することである。音階は、厳密な純正律に比べ単純で、協和する音程を持つ。とはいうものの、高いレベルの協和、または純正律の近似を維持する。そしていくつか、コンマをテンパーアウトするものとして利用できる「語呂合わせ」を紹介するのである。テンペラメントは効果的に純正律の次元を減らす。それによりピッチ間の関係性をより単純化するのである。例えば、7リミット純正調のピッチ間の関係性は、最大7（2, 3, 5, 7）の軸で表される4次元で考えることができる。うまく調整された4次元セットにすべての音程は表記される。7リミットレギュラーテンペラメントにおいて、しかしながら、どうにかして次元は減少されるけれども、たくさんのテンパーアウトされたコンマに依存する。そして音程はうまく調整され1, 2, 3次元のセットに表記される。テンパーアウトされたコンマの数に依存し、それは言い換えればランクテンペラメントである。
特定の調律におけるランクrレギュラーテンペラメントはおそらく、実数から独立した与えられたrの倍数により定義されるだろう。そのテンペラメントで生成された音程同士の掛け合わせである。ランクrテンペラメントはrジェネレーターにより定義され、従ってr valsである。レギュラーテンペラメントの概要は、様々な方法により定義される。例えば、テンペラメントにおけるテンパーアウトされたコンマのセットで与えられ定義されるものや、テンペラメントのマッピングを定義するvalsから独立したrのセットにより定義されるものがある。いくつかのテンパーアウトされたコンマをもつテンペラメントの特徴は、コンマが膨張していることである。音符やコードと関連した調和の順序により、テンパーしたときの開始地点に戻る。しかしそれは純正律ではない。例としては、ミーントーンテンペラメントのI-vii-IV-ii-V-Iである。
なぜ私はレギュラーテンペラメントを使いたがるのか
レギュラーテンペラメントは、音楽家が純正律のような可能性を求めるときに使用される。しかし通常は純正律と関係づけるのは困難である。たとえばウルフの音程や、コンマや、膨張したコンマのためである。また音楽家に独特の可能性を開拓するという興味をもたらすのである。独特の可能性とは、周波数比が純正律と異なるものを同等とみなすとき生じるものである。たとえば、ミーントーンにおいては10/9と9/8を同等とされる。異なると近くできる周波数比を同等とみなすことは、音楽的「語呂合わせ」の構築のためにテンペラメントにおいて許容されるけれども、テンパーされた音程の「意味」の多様性を拡大するメロディーやコード進行である。