User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間

このページではモンゾの正式な数学的定義を考え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。

定義

p-リミットの有理数qは定義よりp以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。

[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p} }[/math]

ただし指数は整数である。これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia ブラ-ケット記法を参照)を用いて、

[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p \rangle }[/math]

のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾと呼ぶ。この名前は、Joe Monzoの情熱的な支援に由来する。

モンゾのテニー高さ(en)は以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \dotso e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p }[/math]

これはベクトル空間のノルムである。よって写像[math]\displaystyle{ M:monzos ⟶ I }[/math]によってp-リミットモンゾを次元[math]\displaystyle{ n=π(p) }[/math] のノルム付きベクトル空間[math]\displaystyle{ I }[/math]に埋め込むことができる。