User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間

This is a draft of JP translation of Monzos and interval space.

このページではモンゾの正式な数学的定義を与え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。

定義

[math]\displaystyle{ p }[/math] -リミットの有理数 [math]\displaystyle{ q }[/math] は定義より [math]\displaystyle{ p }[/math] 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p} }[/math]

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia - ブラ-ケット記法を参照のこと)を模した表記を用いて、

[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle }[/math]

のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾ(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、Joe Monzo(en)の情熱的な支援にちなんでいる。

モンゾのTenney高さ(en)は以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p }[/math]

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 [math]\displaystyle{ M:monzos \rightarrow I }[/math] によって [math]\displaystyle{ p }[/math] -リミットモンゾを次元 [math]\displaystyle{ n = \pi(p) }[/math] のノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] に埋め込むことができる。ただし [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] は素数計数関数。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] を張る [math]\displaystyle{ I }[/math] の離散部分群である。

素数 [math]\displaystyle{ k }[/math] に対応する座標 [math]\displaystyle{ e_k }[/math] に [math]\displaystyle{ \log_2 k }[/math] を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の L¹-ノルムとなる(詳細はWikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルムを参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常のL¹-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。 ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、[1 0⟩は周波数比2を表すが、[0 log₃ 2⟩も同様に2を表す。

ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よくL¹-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりにTenney-ユークリッド音程空間(en)が得られる。明示的に、モンゾ[e₂ e₃ … e_p⟩をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

[math]\displaystyle{ \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \cdots + (e_p \log_2 p)^2} }[/math]

そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、またはL²-ノルムとなる。