User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間: Difference between revisions
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のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''と呼ぶ。この名前は、[[Joe Monzo]]の情熱的な支援に由来する。 | |||
モンゾの[[Tenney height|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。 | モンゾの[[Tenney height|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。 | ||
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これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n= \pi(p)</math> のノルム線型空間 ''I'' に埋め込むことができる。ただし<math>\pi(x)</math>は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。 | これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n= \pi(p)</math> のノルム線型空間 ''I'' に埋め込むことができる。ただし<math>\pi(x)</math>は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。 | ||
==別の定義== | ==別の定義== | ||
Revision as of 03:57, 14 January 2023
このページではモンゾの正式な数学的定義を考え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。
定義
p-リミットの有理数qは定義よりp以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。
[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p} }[/math]
ただし指数は整数である。
これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia ブラ-ケット記法を参照)を用いて、
[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p \rangle }[/math]
のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾと呼ぶ。この名前は、Joe Monzoの情熱的な支援に由来する。
モンゾのテニー高さ(en)は以下のように与えられる。
[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \dotso e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p }[/math]
これはベクトル空間のノルムである。よって写像 [math]\displaystyle{ M:monzos \rightarrow I }[/math] によってp-リミットモンゾを次元 [math]\displaystyle{ n= \pi(p) }[/math] のノルム線型空間 I に埋め込むことができる。ただし[math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math]は素数計数関数。