User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間: Difference between revisions
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''p''-リミットの有理数''q'' | ''p''-リミットの有理数''q''は定義より''p''以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。 | ||
<math>q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</math> | <math>q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</math> | ||
ただし指数は整数である。 | |||
これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia ブラ-ケット記法]を参照)を用いて、 | |||
<math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p \rangle</math> | <math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p \rangle</math> | ||
のように書かれる。 | |||
この時、このベクトルを'''モンゾ'''と呼ぶ。この名前は、[[Joe Monzo]]の情熱的な支援に由来する。 | |||
モンゾの[[Tenney height|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。 | モンゾの[[Tenney height|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。 | ||
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<math>\| |e_2 \, e_3 \dotso e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math> | <math>\| |e_2 \, e_3 \dotso e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math> | ||
これはベクトル空間のノルムである。 | |||
よって写像<math>M:monzos ⟶ I</math>によって''p''-リミットモンゾを次元<math>n=π(p)</math> のノルム付きベクトル空間<math>I</math>に埋め込むことができる。 | |||
==別の定義== | ==別の定義== | ||
Revision as of 03:28, 14 January 2023
このページではモンゾの正式な数学的定義を考え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。
定義
p-リミットの有理数qは定義よりp以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。
[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p} }[/math]
ただし指数は整数である。
これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia ブラ-ケット記法を参照)を用いて、
[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p \rangle }[/math]
のように書かれる。
この時、このベクトルをモンゾと呼ぶ。この名前は、Joe Monzoの情熱的な支援に由来する。
モンゾのテニー高さ(en)は以下のように与えられる。
[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \dotso e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p }[/math]
これはベクトル空間のノルムである。
よって写像[math]\displaystyle{ M:monzos ⟶ I }[/math]によってp-リミットモンゾを次元[math]\displaystyle{ n=π(p) }[/math] のノルム付きベクトル空間[math]\displaystyle{ I }[/math]に埋め込むことができる。