User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間: Difference between revisions
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このページでは'''モンゾ''' | This is a draft of JP translation of [[Monzos and interval space]]. | ||
完成版→[[モンゾと音程空間]] | |||
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このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。 | |||
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==定義== | ==定義== | ||
''p''-リミットの有理数''q''は定義より''p'' | ''p''-リミットの有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。 | ||
<math>q = 2^{e_2} \ | <math>q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math> | ||
ただし指数は整数である。 | ただし指数は整数である。 | ||
これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia ブラ-ケット記法] | これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、 | ||
<math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math> | |||
< | のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo|Joe Monzo<sup>(en)</sup>]]の情熱的な支援にちなんでいる。 | ||
モンゾの[[Tenney height|Tenney 高さ<sup>(en)</sup>]]は以下のように与えられる。 | |||
<math>\| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p</math> | |||
<math>\ | これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。 | ||
素数 ''k'' に対応する座標 ''e<sub>k</sub>'' に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L<sup>p</sup>''空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照)。このベクトル空間は Tenney 音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標が Tenney 空間の標準基底を構成する。 | |||
ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一対一に対応するが、Tenney 空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo | 0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。 | |||
ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney 音程空間の代わりに [[Tenney-Euclidean metrics|Tenney-ユークリッド音程空間<sup>(en)</sup>]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo | ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e<sub>p</sub>''}} をとったとき、その Tenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。 | |||
<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math> | |||
そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。 | |||
==別の定義== | ==別の定義== | ||
''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。 | |||
<math>q = |v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math> | |||
このモンゾの Tenney 高さは以下のように与えられる。 | |||
<math>\| |v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \| = |v_2 (q)| + |v_3 (q)| \log_2 3 + \dotsb + |v_p (q)| \log_2 p</math> | |||
ただし、<math>v_p (q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進賦値]である。 | |||
==例== | ==例== | ||
5-リミットの音程 16/15 は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo|4 -1.585 -2.322}} となる。 | |||
したがってTEノルムは | |||
<math>\sqrt{4^2 + (\log_2 3)^2 + (\log_2 5)^2} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math> | |||
となる。 | |||
==関連項目== | ==関連項目== | ||
*[[Fractional monzo|分数モンゾ<sup>(en)</sup>]] | |||
*[[Vals and tuning space|ヴァルと調律空間<sup>(en)</sup>]] | |||
==脚注== | ==脚注== | ||