View source for Seventeen limit tetrads

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<h4>Original Wikitext content:</h4>
<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">The 17th harmonic, octave reduced to the frequency ratio [[17_16|17/16]], is about 105¢. It is likely to sound dissonant against the fundamental, which is perhaps one reason why [[Just Intonation]] composers usually stop at the [[13-limit]] or lower. Another interval of 17 that can sound just as dissonant is [[18_17|18/17]], about 99¢. Thus, 17/16 also clashes with [[9_8|9/8]]. Therefore, one approach for 17-limit harmony is to filter the total list of chords to exclude these small steps, resulting in non-rooted harmonies.

Every otonal tetrad within the 17-limit is listed in the table below as the simplest possible subset of harmonics 2-17; there are 56 in total. The columns to the right of the chords provide different cutoffs for filtering out small steps. For example, chords with a 16/15 cutoff do not contain any interval smaller than or equal to 16/15 (which includes 17/16 and 18/17) among the dyads. Since this eliminates harmonics 2 and 9 right away, it also eliminates chords containing 10/9 and 9/8. (This is why there is a jump from 12/11 to 9/8 in the table below.)
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||~ no cutoff
56 tetrads ||~ 16/15 cutoff
20 tetrads ||~ 15/14 cutoff
16 tetrads ||~ 14/13 cutoff
13 tetrads ||~ 13/12 cutoff
10 tetrads ||~ 12/11 cutoff
7 tetrads ||~ 9/8 cutoff
4 tetrads ||~ 17/15 cutoff
1 tetrad ||
|| 2:3:5:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:3:7:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:3:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:3:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:3:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:3:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:5:7:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:5:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:5:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:5:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:5:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:7:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:7:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:7:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:7:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:9:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:9:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:9:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:11:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:11:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 2:13:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:5:7:17 || x || x || x || x || x || x || x ||
|| 3:5:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:5:11:17 || x || x || x || x ||   ||   ||   ||
|| 3:5:13:17 || x || x || x ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:5:15:17 || x || x || x || x || x || x ||   ||
|| 3:7:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:7:11:17 || x || x || x || x ||   ||   ||   ||
|| 3:7:13:17 || x || x ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:7:15:17 || x ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:9:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:9:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:9:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:11:13:17 || x || x || x ||   ||   ||   ||   ||
|| 3:11:15:17 || x || x || x || x ||   ||   ||   ||
|| 3:13:15:17 || x || x || x ||   ||   ||   ||   ||
|| 5:7:9:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 5:7:11:17 || x || x || x || x || x ||   ||   ||
|| 5:7:13:17 || x || x ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 5:7:15:17 || x ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
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|| 5:9:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 5:9:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 5:11:13:17 || x || x || x || x || x ||   ||   ||
|| 5:11:15:17 || x || x || x || x || x ||   ||   ||
|| 5:13:15:17 || x || x || x || x || x || x ||   ||
|| 7:9:11:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 7:9:13:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 7:9:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 7:11:13:17 || x || x ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 7:11:15:17 || x ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 7:13:15:17 || x ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
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|| 9:11:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 9:13:15:17 ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||   ||
|| 11:13:15:17 || x || x || x || x || x || x ||   ||
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<h4>Original HTML content:</h4>
<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;seventeen limit tetrads&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;The 17th harmonic, octave reduced to the frequency ratio &lt;a class="wiki_link" href="/17_16"&gt;17/16&lt;/a&gt;, is about 105¢. It is likely to sound dissonant against the fundamental, which is perhaps one reason why &lt;a class="wiki_link" href="/Just%20Intonation"&gt;Just Intonation&lt;/a&gt; composers usually stop at the &lt;a class="wiki_link" href="/13-limit"&gt;13-limit&lt;/a&gt; or lower. Another interval of 17 that can sound just as dissonant is &lt;a class="wiki_link" href="/18_17"&gt;18/17&lt;/a&gt;, about 99¢. Thus, 17/16 also clashes with &lt;a class="wiki_link" href="/9_8"&gt;9/8&lt;/a&gt;. Therefore, one approach for 17-limit harmony is to filter the total list of chords to exclude these small steps, resulting in non-rooted harmonies.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Every otonal tetrad within the 17-limit is listed in the table below as the simplest possible subset of harmonics 2-17; there are 56 in total. The columns to the right of the chords provide different cutoffs for filtering out small steps. For example, chords with a 16/15 cutoff do not contain any interval smaller than or equal to 16/15 (which includes 17/16 and 18/17) among the dyads. Since this eliminates harmonics 2 and 9 right away, it also eliminates chords containing 10/9 and 9/8. (This is why there is a jump from 12/11 to 9/8 in the table below.)&lt;br /&gt;


&lt;table class="wiki_table"&gt;
    &lt;tr&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
        &lt;th&gt;no cutoff&lt;br /&gt;
56 tetrads&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;16/15 cutoff&lt;br /&gt;
20 tetrads&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
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16 tetrads&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
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&lt;/th&gt;
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        &lt;th&gt;12/11 cutoff&lt;br /&gt;
7 tetrads&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;9/8 cutoff&lt;br /&gt;
4 tetrads&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
        &lt;th&gt;17/15 cutoff&lt;br /&gt;
1 tetrad&lt;br /&gt;
&lt;/th&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
        &lt;td&gt;2:3:5:17&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
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    &lt;tr&gt;
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&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
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    &lt;tr&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
        &lt;td&gt;2:5:15:17&lt;br /&gt;
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&lt;/td&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
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    &lt;tr&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
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    &lt;tr&gt;
        &lt;td&gt;2:7:13:17&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
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&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
        &lt;td&gt;5:9:13:17&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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    &lt;tr&gt;
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&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/td&gt;
        &lt;td&gt;&lt;br /&gt;
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&lt;/td&gt;
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