View source for 五度相生律

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五度相生律（[[pythagorean tuning]]）又称毕氏律，是通过连续的五度相生，确定音名的音律。由于五度相生律所有的音程，因子都是2和3，没有大于3的素数，因此，五度相生律又称为3限（[[3-limit]]）纯律。

== 定义 ==
五度相生律的音高，是通过F-C-G-D-A-E-B五度链得到的，五度链相邻的两个音，就可以形成一个纯五度（[[3/2]]）。假设C的音高是f，那么可以得到G的音高是3f/2，D是9f/4；但由于9/4已经超过了一个八度（[[2/1]]），因此一个八度内的D的音高就是9f/8，这样就得到了大二度[[9/8]]。依此类推，A=27f/16，E=81f/64，B=243f/128，F=4f/3。这样就得到了毕氏大六度[[27/16]]、毕氏大三度[[81/64]]、毕氏大七度[[243/128]]，而纯四度作为纯五度的转位，它就是[[4/3]]。由于小二度，也就是自然半音（[[diatonic semitone]]）或音馀（[[limma]]）就是大七度的转位，因此毕氏律的小二度是[[243/128]]。

继续扩展五度链，比如C-G-D-A-E-B-F#-C#，还可以得到F#=729f/512，C#=2187f/2048。这样，就得到了毕氏增四度[[729/512]]，毕氏增一度[[2187/2048]]。由于729/512就是9/8的立方，9/8正好就是一个全音（[[whole tone]]），因此虽然“三全音”广义上可以代表550-650音分的音程，但是真正字面意义上的三全音，就是毕氏增四度；而增一度，起到变化半音（[[chromatic semitone]]）或者音变（[[apotome]]）的作用，因此五度相生律的一个升号，就代表升高2187/2048。

== 音名表格 ==
{| class="wikitable"
!比例
![[Monzo]]
!大小 ([[Cent|¢]])
! colspan="2" |[[Kite's color notation|Color Name]]
! colspan="2" |音程名字
|-
|[[1/1]]
|[0⟩
|0.000
|w1
|wa unison
|P1
|C
|-
|[[2187/2048]]
|[-11 7⟩
|113.685
|Lw1
|lawa 1sn
|A1
|C#
|-
|[[256/243]]
|[8 -5⟩
|90.225
|sw2
|sawa 2nd
|m2
|Db
|-
|[[9/8]]
|[-3 2⟩
|203.910
|w2
|wa 2nd
|M2
|D
|-
|[[19683/16384]]
|[-14 9⟩
|317.595
|Lw2
|lawa 2nd
|A2
|D#
|-
|[[32/27]]
|[5 -3⟩
|294.135
|w3
|wa 3rd
|m3
|Eb
|-
|[[81/64]]
|[-6 4⟩
|407.820
|Lw3
|lawa 3rd
|M3
|E
|-
|[[8192/6561]]
|[13 -8⟩
|384.360
|sw4
|sawa 4th
|d4
|Fb
|-
|[[4/3]]
|[2 -1⟩
|498.045
|w4
|wa 4th
|P4
|F
|-
|[[729/512]]
|[-9 6⟩
|611.730
|Lw4
|lawa 4th
|A4
|F#
|-
|[[1024/729]]
|[10 -6⟩
|588.270
|sw5
|sawa 5th
|d5
|Gb
|-
|[[3/2]]
|[-1 1⟩
|701.955
|w5
|wa 5th
|P5
|G
|-
|[[6561/4096]]
|[-12 8⟩
|815.640
|Lw5
|lawa 5th
|A5
|G#
|-
|[[128/81]]
|[7 -4⟩
|792.180
|sw6
|sawa 6th
|m6
|Ab
|-
|[[27/16]]
|[-4 3⟩
|905.865
|w6
|wa 6th
|M6
|A
|-
|[[32768/19683]]
|[15 -9⟩
|882.405
|sw7
|sawa 7th
|d7
|Bbb
|-
|[[16/9]]
|[4 -2⟩
|996.090
|w7
|wa 7th
|m7
|Bb
|-
|[[243/128]]
|[-7 5⟩
|1109.775
|Lw7
|lawa 7th
|M7
|B
|-
|[[4096/2187]]
|[12 -7⟩
|1086.315
|sw8
|sawa 8ve
|d8
|Cb
|-
|[[2/1]]
|[1⟩
|1200.000
|w8
|wa 8ve
|P8
|C
|}
在五度相生律中，我们熟知的G#和Ab等，不再是等音，他们相差了一个毕氏音差（[[pythagorean comma]]）[[531441/524288]]。如果调和这个音差，就得到12平均律（及其整数倍）；其他平均律，则会调和五度相生律中的其他音差。

== 平均律近似 ==
对于一个平均律，音程的名字和生成规则和五度相生律的音程名字是相同的。如大三度=4*纯五度-2*纯八度，因此[[31平均律]]中的五度[[31edo|18\31]]，决定大三度为10\31。

类似的，小二度=3*纯八度-5*纯五度，增一度=7*纯五度-4*纯八度，通过这样的方式，可以得到一个平均律的[[sharpness]]和[[Sharpness|penta-sharpness]]（又称[[limmanosity]]）。这两个参数的正负，决定一个平均律的分类：diatonic（可以构建正常的[[5L 2s]]），pentatonic（E=F，B=C，因此七声调式转化为五声调式），perfect（A1=P1，因此没有大小音程之分，所有音程都是纯音程，升降号不改变音高），superflat（由于五度过低，升号反而降低音高，因此原来的5L 2s转化为[[2L 5s]]，又称[[antidiatonic]]），以及supersharp（五度过高，导致小二度<0，因此E高于F，B高于C，大七度超过八度，无法构建七声调式。但是，对于这类平均律，可以使用不含有B和F的五声调式，但是原来的[[2L 3s]]转化为[[3L 2s]]，又称[[antipentic]]；对于它们还有两类处理方法，一类是把[[8edo|8]]、[[13edo|13]]、[[18edo|18]]看做[[24edo|24]]、[[26edo|26]]、[[36edo|36]]的子集，另一类对于8不适用，是使用第二好的五度，转化为superflat）

由于平均律的音名的生成规则也是五度相生，因此，五度的准确性，决定一个平均律和五度相生律的相似性。下表列出了纯五度相对误差不超过7%的，不超过200的平均律。
{| class="wikitable sortable"
![[Edo|平均律]]
!步数
!Absolute
!相对误差 (%)
!↕
!等价扩展
|-
|[[12edo|12]]
|7\12
|1.955
|1.955
|↓
|[[24edo|14\24]], [[36edo|21\36]]
|-
|[[17edo|17]]
|10\17
|3.927
|5.564
|↑
|
|-
|[[29edo|29]]
|17\29
|1.493
|3.609
|↑
|
|-
|[[41edo|41]]
|24\41
|0.484
|1.654
|↑
|[[82edo|48\82]], [[123edo|72\123]], [[164edo|96\164]]
|-
|[[53edo|53]]
|31\53
|0.068
|0.301
|↓
|[[106edo|62\106]], [[159edo|93\159]]
|-
|[[65edo|65]]
|38\65
|0.416
|2.256
|↓
|[[130edo|76\130]], [[195edo|114\195]]
|-
|[[70edo|70]]
|41\70
|0.902
|5.262
|↑
|
|-
|[[77edo|77]]
|45\77
|0.656
|4.211
|↓
|
|-
|[[89edo|89]]
|52\89
|0.831
|6.166
|↓
|
|-
|[[94edo|94]]
|55\94
|0.173
|1.352
|↑
|[[188edo|110\188]]
|-
|[[111edo|111]]
|65\111
|0.748
|6.916
|↑
|
|-
|[[118edo|118]]
|69\118
|0.260
|2.557
|↓
|
|-
|[[135edo|135]]
|79\135
|0.267
|3.006
|↑
|
|-
|[[142edo|142]]
|83\142
|0.547
|6.467
|↓
|
|-
|[[147edo|147]]
|86\147
|0.086
|1.051
|↑
|
|-
|[[171edo|171]]
|100\171
|0.200
|2.859
|↓
|
|-
|[[176edo|176]]
|103\176
|0.318
|4.660
|↑
|
|-
|[[183edo|183]]
|107\183
|0.316
|4.814
|↓
|
|-
|[[200edo|200]]
|117\200
|0.045
|0.750
|↑
|}