User:Dummy index/一貫性

(under construction)

あるnEDOについて、qアドリミット純正音程を全て最近傍の平均律音程で近似して、得られた音程の関係に矛盾がない場合に、nEDOはqアドリミットの一貫性をもつという。例えば、7/4を近似した音程と5/4を近似した音程の差は7/5を近似した音程と一致する、というような関係が全て成立することになる。また、更にこの最近傍近似がqアドリミットの全ての音程をそれぞれ異なる平均律音程に割り当てる（つまり単射の）場合、distinctly consistent (aka uniquely consistent)という。例えば、7/5と10/7を同一の平均律音程で近似することになるnEDOは7-odd-limitでdistinctly consistentにはならない。（言うまでもないがそういうnEDOのnは偶数になっている）

別の言い方では、それぞれの近似音程が、元の音程の素因数分解とヴァルによって説明できるということが一貫性があるということである。

While the term consistency is most frequently used to refer to some odd-limit, sometimes one may only care about 'some' of the intervals in some odd-limit; this situation often arises when working in JI subgroups. We can also "skip" certain intervals when evaluating consistency. For instance, 12edo is consistent in the no-11's, no-13's 19-odd-limit, meaning for the set of the odd harmonics 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, and 19, where we deliberately skip 11 and 13.

数学的定義

もし n 平均律が 1 つの EDOならば、またもしその平均律がいくつかの音程 r のためにあるならば、r という音程をもつ N 平均律「N(r)」は r の近似値としてベストな N 平均律とみなす。N がインターバル S のセットと関係してつじつまのあったものである時は。S は 2 つのインターバル a と b をもつとする。また S は ab ももつとすると、N(ab) = N(a) + N(b)がなりたつ。通常これは S が q アドリミット音程の時に考えられる。形のすべての構成が 2^n または u/v で成る。そこの uと v は q と同じか少ない整数の奇数である。N はその時 q リミットの「一貫性」があるとよばれる。もし各 q リミット音程が N の独特の値でマッピングされるなら、そのとき独特な(uniquely)q リミットの一貫性をもつという。

例

一例として、一貫性のない特定の基数のリミットである 25 平均律のシステムを取り上げる。

25 平均律の 7/6(the septimal subminor third、266.87cent)のよい近似値は、6 ステップ(48*6=288cent)である。そしてまた、3/2(perfect fifth、702cent、perfect fifth)は 15 ステップ(48*15=720cent)である。2 つの純正音程を加えることは、3/2 * 7/6 = 7/4(968.83cent)を与える。この時、25 平均律は 288+720=1008cent(21 ステップ、48*21=1008)である。そのハーモニックセブンス 7/4は、25 平均律の良い近似値で 20 ステップ(48*20=960cent)である。しかしながら、2 つの近似音程を加えると21 ステップを与える。これは 25 平均律が 7 リミットのなかで一貫性がないことを意味する。

3 リミットの一貫性があるシステムの例は 12 平均律である。純正 5 度(3:2、3:2)は一貫して 12 平均律に接近する。