调和

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对于一个律制，它调和（temper out）一个音差（comma），当且仅当它把这个音差映射为一个纯一度（perfect unison）。

一个基本的例子

在中庸全音律（meantone temperament）中，5限大三度（major third）是5/4。由于中全律纯五度（perfect fifth）的精确值，是四次根号5（近似3/2），因此3限大三度=4*纯五度-2*纯八度，精确值也是5/4。这样，3限大三度和5限大三度，原本相差的81/80，现在被映射为了纯一度，把5限大三度和3限大三度统一了。换句话说，这个81/80的音差，好像不存在了一样，我们就说81/80被调和了，或者说中全律调和81/80。

12平均律的调和

对于任意一个平均律，一个音程的映射，由它的素因数分解（monzo）和这个平均律的val点乘得到。如，12平均律的val，是⟨12 19 28 34 42 44......]，因此计算一个音程的在12平均律的映射，只需要把这个音程的monzo，和⟨12 19 28 34 42 44......]进行点乘。

例1、12平均律是否调和81/80？

解：81/80=3^4/(2^4*5)，因此81/80的monzo是[-4 4 -1⟩，它和val的点乘，是-4*12+4*19-1*28=0，81/80被映射为纯一度。因此，12平均律调和81/80。

例2、12平均律是否调和64/63？

解：64/63=2^6/(3^2*7)，因此64/63的monzo是[6 -2 0 -1⟩，它和val的点乘，是6*12-2*19-1*34=0，64/63被映射为纯一度。因此，12平均律调和64/63。

例3、12平均律是否调和128/125？

解：128/125=2^7/(5^3)，因此64/63的monzo是[7 0 -3⟩，它和val的点乘，是7*12-3*28=0，128/125被映射为纯一度。因此，12平均律调和128/125。

等音的本质是调和

我们知道，12平均律有很多我们熟知的等音关系，如C#=Db，G#=Ab，D#=Eb。从3限音程的角度考虑，它们原本相差了一个毕达哥拉斯音差（Pythagorean comma）531441/524288，但是12平均律调和这一音差。因此，C#-Db的步数为0，它和纯一度是等音程，这样C#和Db就达成了统一。12平均律的便利，很大程度来自于这一调和。

从5限纯律的角度来说，12平均律中增三和弦和减七和弦的对称性，也可以得到解释。对于增三和弦（如C-E-G#），使用5限大三度，频率比是16:20:25，而它的第一转位（如C-E-Ab），使用5限大三度，频率比是20:25:32，这样E-G#大三度，和E-Ab减四度，相差了128/125。但由于12平均律调和128/125，因此减四度和大三度，就成为了等音程，这样增三和弦的转位，和增三和弦本身，就是等和弦，这样增三和弦就具有对称性了。对于减七和弦（如C-Eb-Gb-Bbb），只需要调和大六度和减七度，它就同样具有对称性。

调和的音乐意义

在上一节中，我们已经知道了，调和可以产生等音。

除了等音外，调和还有其他的意义。比如说，用5限纯律的C大调，D-A会产生一个狼五度（wolf fifth，40/27），如果不注意，3限大三度（81/64）也会极大地破坏音响效果。如果调和81/80，不协和的狼五度，就会被调和为正常的五度，不协和（dissonant）的3限大三度也会被调和为协和（consonant）的5限大三度，这样就可以解决这个问题了。

然而，调和也有一些不好的影响。如64/63，它是一个27.26￠的音程，但是它在12平均律被调和了。这意味着，7限小七度（7/4）和3限小七度（16/9）在12平均律中，被演奏成同一个音程。我们听到小七度的时候，第一反应是解读为3限（或5限）小七度，因此7这个因子，除了三全音（tritone）以外几乎无法出现。为了使用因子7，我们便需要更大的平均律。