User:Dummy index/一貫性
あるnEDOについて、qアドリミットに属する奇数倍音を全て最近傍の平均律音程で近似したとき、奇数倍音間の音程が全て相当する純正音程の最近傍近似になっている場合、nEDOはqアドリミットの一貫性をもつという[1]。例えば、7倍音を近似した音程と5倍音を近似した音程の差が7/5を近似した音程と一致する[2]、というような関係が全て成立することをいう。また、更にこの最近傍近似がqアドリミットの全ての音程をそれぞれ異なる平均律音程に割り当てる（つまり単射の）場合、distinctly consistent (aka uniquely consistent)という。例えば、7/5と10/7を同一の平均律音程で近似することになるnEDOは7-odd-limitでdistinctly consistentにはならない。（ちなみにそういうnEDOのnは偶数になっている）
別の言い方では、それぞれの近似音程が、元の音程の素因数分解とヴァルによって説明できるということが一貫性があるということである。
一貫性は通常何らかのアドリミットを対象範囲とするが、アドリミットの音程集合の一部分のみを対象範囲とする場合もある。これはしばしば純正律サブグループによって範囲制限される。また他の方法でも良い[3]。例として、12平均律はno-11's, no-13's 19-odd-limitにおいて一貫性をもつ。これはつまり、11と13を飛ばして1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19倍音に限ると一貫性が得られるということである。
あるnEDOがコードCにおいて一貫性がある、あるいはコードCがnEDO内で一貫性がある、という言い方ができる。これはそのコードの構成音程（根音基準）の最近傍近似がコード内の全ての音程（任意の2音間）の最近傍近似を導くことをいう。この場合、『qアドリミット』に相当する言い方は『コード1:3:…:(q - 2):q』となる。
The concept only makes sense for equal-step tunings and not for unequal multirank tunings, since for some choices of generator sizes in these temperaments, you can get any ratio you want to arbitrary precision by piling up a lot of generators (assuming the generator is an irrational fraction of the octave).
The page Minimal consistent edos shows the smallest edo that is consistent or distinctly consistent in a given odd limit while the page Consistency limits of small edos shows the largest odd limit that a given edo is consistent or distinctly consistent in.
数学的定義
もし n 平均律が 1 つの EDOならば、またもしその平均律がいくつかの音程 r のためにあるならば、r という音程をもつ N 平均律「N(r)」は r の近似値としてベストな N 平均律とみなす。N がインターバル S のセットと関係してつじつまのあったものである時は。S は 2 つのインターバル a と b をもつとする。また S は ab ももつとすると、N(ab) = N(a) + N(b)がなりたつ。通常これは S が q アドリミット音程の時に考えられる。形のすべての構成が 2^n または u/v で成る。そこの uと v は q と同じか少ない整数の奇数である。N はその時 q リミットの「一貫性」があるとよばれる。もし各 q リミット音程が N の独特の値でマッピングされるなら、そのとき独特な(uniquely)q リミットの一貫性をもつという。
例
一例として、一貫性のない特定の基数のリミットである 25 平均律のシステムを取り上げる。
25 平均律の 7/6(the septimal subminor third、266.87cent)のよい近似値は、6 ステップ(48*6=288cent)である。そしてまた、3/2(perfect fifth、702cent、perfect fifth)は 15 ステップ(48*15=720cent)である。2 つの純正音程を加えることは、3/2 * 7/6 = 7/4(968.83cent)を与える。この時、25 平均律は 288+720=1008cent(21 ステップ、48*21=1008)である。そのハーモニックセブンス 7/4は、25 平均律の良い近似値で 20 ステップ(48*20=960cent)である。しかしながら、2 つの近似音程を加えると21 ステップを与える。これは 25 平均律が 7 リミットのなかで一貫性がないことを意味する。
3 リミットの一貫性があるシステムの例は 12 平均律である。純正 5 度(3:2、3:2)は一貫して 12 平均律に接近する。
Generalization to non-octave scales
一貫性のコンセプトをノンオクターブ平均律に拡張することは可能である。オクターブ等価性を捨て、アドリミットの代わりに整数リミットを用いることになる。
Alternatively, we can use "modulo-n limit" if the equave is n/1. Thus the tritave analogue of odd limit would only allow integers not divisible by 3 below a given number, assuming tritave equivalence and tritave invertibility.