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音楽において、15 equal temperamentは15TETや15EDO、または15ETと呼ばれる。15平均律はオクターブを15の均等なステップに分割し、テンパーされた音階である。各ステップは周波数比2^(1/15)、または80セントである。5平均律が3つの音階、または3平均律が5つの音階と解釈することが可能である。

15平均律は7リミットにもとづく音程に近いいくつかの音程を持つため、7リミットテンペラメントとして見なすことが可能である。しかしまた、明らかに11リミット音程に近い音程もいくつか含んでいる。ゆえに、11リミットテンペラメントとして述べることが合理的である。しかし12平均律の3度と9度の響きからは離れているため、15平均律に近いJIを探すことは、要求されているそれらのコードを避けることがベストだと考えられる。もしくは、注意深く扱う必要がある。15平均律はまた、明確なシントニックコンマを持つ5アドリミットインターバル（3/2、5/4、6/5）の表現と、異なっていると認識できる最も小さい平均律である。このことは注目に値する。

15平均律のシステムにおいて、メジャーサードは2（1200cent）を完全に分割できず、そして一般の3全音（600セント）の欠如と結びつく。このチューニングは、はじめ方向感覚を失わせる。しかしながら、ギターは12音システムギターと異なり、Eからe、または6弦から1弦のように対照的にチューニングできる。カーブを学ぶことはとても管理しやすい。すべてのコードはどこでも同じ転調のようにみえ、マイナーアルペジオは垂直に積み重ねられ、とても簡単に演奏できる。15音はたぶん誰もがより優れたハーモニーとゼンハーモニー、音数の管理のしやすさ、5平均律の重なりによる音の特徴に興味を持つ、有望な駆け出しとなる。

15平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=15, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

EDO	interval	cent	DMS	The "neighborhood" of JI	Japanese name	ratio	diff cent	cent	diff DMS	DMS
15	0	0.00	0.00
	1	80.00	24.00
	2	160.00	48.00	3/4-tone, undecimal neutral second	3/4全音、11リミットの中立的な2度	12/11	9.36	150.64	2.81	45.19
	2	160.00	48.00	4/5-tone, Ptolemy's second	4/5全音、プトレマイオスの2度	11/10	-5.00	165.00	-1.50	49.50
	3	240.00	72.00	septimal whole tone	7リミットの全音	8/7	8.83	231.17	2.65	69.35
	3	240.00	72.00	tridecimal 5/4-tone	13リミットの5/4全音	15/13	-7.74	247.74	-2.32	74.32
	4	320.00	96.00	minor third	短3度	6/5	4.36	315.64	1.31	94.69
	5	400.00	120.00	major third	長3度	5/4	13.69	386.31	4.11	115.89
	5	400.00	120.00	undecimal diminished fourth or major third	11リミットの減4度または長3度	14/11	-17.51	417.51	-5.25	125.25
	6	480.00	144.00	perfect fourth	完全4度	4/3	-18.04	498.04	-5.41	149.41
	7	560.00	168.00	undecimal semi-augmented fourth	11リミットの準増5度	11/8	8.68	551.32	2.60	165.40
	8	640.00	192.00	tridecimal diminished fifth	13リミットの減5度	13/9	3.38	636.62	1.01	190.99
	8	640.00	192.00	undecimal semi-diminished fifth	11リミットの準減5度	16/11	-8.68	648.68	-2.60	194.60
	9	720.00	216.00	perfect fifth	完全5度	3/2	18.04	701.96	5.41	210.59
	10	800.00	240.00	undecimal augmented fifth	11リミットの増5度	11/7	17.51	782.49	5.25	234.75
	10	800.00	240.00	minor sixth	短6度	8/5	-13.69	813.69	-4.11	244.11
	11	880.00	264.00	major sixth, BP sixth	長6度、ボーレン・ピアスの6度	5/3	-4.36	884.36	-1.31	265.31
	12	960.00	288.00	harmonic seventh	協和する7度	7/4	-8.83	968.83	-2.65	290.65
	13	1040.00	312.00	21/4-tone, undecimal neutral seventh	21/4全音、11リミットの中立7度	11/6	-9.36	1049.36	-2.81	314.81
	14	1120.00	336.00
	15	1200.00	360.00

イメージ

12平均律の音程と近似値

15平均律は6/5や5/3といった周波数比5の中で、12平均律以上にいくつかの小さな改善点を提案する。そしてよりよい7倍音や11倍音の響きの近似を持つ。しかし3倍音からは離れる。この近似から抜け出すための特別な方法を行うと、バグと同様にたくさんの特徴をもつ、5L5sMOS音階を構築する。5L5sMOS音階の各音は7リミットオトーナルとウトーナルテトラのためのルートとして役立つ。同様に5リミットのメジャーまたはマイナーセブンスコードとしても役立つ。ウトーナルとはいくつかの周波数の最大公倍数のリミットを差し、オトーナルとは最大値をさす。たとえば10:12:15のコードは5リミットのウトーナリティであり、15リミットのオトーナリティである（otonality and utonality）。5L5sMOS音階はBlackwood temperamentとして知らており、Easley Blackwood, Jrから名づけられている。彼は初めてこれを文章で残した。この文章はまた、Igliashon Jonesにより、「Five is Not an Odd Number」で広範囲にわたり書かれている。15平均律の深いハーモニーの扱い方は、基本的にこのテンペラメントと7と11リミットの拡張にもとづく。Harmony in 15edo Blacksmith[10]もまた参照のこと。

記譜法

15平均律の記譜法にはさまざまな方法がある。そして記譜法の選択は、作曲家が重点を置く点が、ランク2テンペラメントなのか、MOS音階なのかに大きく依存している。

Blackwoodの記譜法

10進数バージョン：1から0（0は10という意味）という言葉を使い、5平均律の3つのチェーンの1つは奇数によってあらわされる。偶数によって2番目が表される。そして3番目は臨時記号のついた数で表される。3番目の臨時記号は奇数にシャープをつけたものでも、偶数にフラットをつけたものでも構わない。

ギターバージョン：15平均律ギターにおいて、5平均律からうまれる「完全4度」のため、すべての開放弦は完全4度でチューニングすることが可能である。そして間隔は正確に2オクターブのままである。もしBから4度圏を始めるなら（B-E-A-D-G-(B)）、その時開放弦は通常（E-A-D-G-B-E）として記録される。しかしながら、4度圏は5回で閉じてしまう。15平均律の残り10音に続かないのである。臨時記号を用いて5平均律の2つのチェーンを記録する必要がある。この記譜法は5平均律ではない、臨時記号を使う5線譜にもとづくものとしても、特別なものではない。しかしながらギターにおける15平均律の直感的アプローチが反映されているため、便利である。なぜなら5平均律は、フレットボードをナビゲートするのに便利な3リミットのランドマーク（完全4度や完全5度）のセットという利便性を提供するためである。コードチャートを書くのに特に便利で、そこでは独創的な臨時記号を表す記号は無視できる。

ポーキュパイン・ノーテーション

MOS音階の一種。porcupine notationを参照のこと。

ランク2テンペラメント

悪い15ET ランク 2 テンペラメントのリスト

平均律とは異なった15ET ランク 2 テンペラメントのリスト

Periods per octave	Generator	Temperaments
1	1\15	Nautilus/valentine
1	2\15	Porcupine/opossum
1	4\15	Hanson/keemun/orgone
1	7\15	Progress
3	1\15	Augmented/augene
3	2\15	Triforce
5	1\15	Blackwood/blacksmith

コンマをなだらかにする

15平均律を< 15 24 35 42 52 56 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma	Monzo	Value (Cents)	Name 1	Name 2	Name 3
256/243	\| 8 -5 >	90.22	Limma	Pythagorean Minor 2nd
250/243	\| 1 -5 3 >	49.17	Maximal Diesis	Porcupine Comma
128/125	\| 7 0 -3 >	41.06	Diesis	Augmented Comma
15625/15552	\| -6 -5 6 >	8.11	Kleisma	Semicomma Majeur
1029/1000	\| -3 1 -3 3 >	49.49	Keega
49/48	\| -4 -1 0 2 >	35.70	Slendro Diesis
64/63	\| 6 -2 0 -1 >	27.26	Septimal Comma	Archytas' Comma	Leipziger Komma
64827/64000	\| -9 3 -3 4 >	22.23	Squalentine
875/864	\| -5 -3 3 1 >	21.90	Keema
126/125	\| 1 2 -3 1 >	13.79	Septimal Semicomma	Starling Comma
4000/3969	\| 5 -4 3 -2 >	13.47	Octagar
1029/1024	\| -10 1 0 3 >	8.43	Gamelisma
6144/6125	\| 11 1 -3 -2 >	5.36	Porwell
250047/250000	\| -4 6 -6 3 >	0.33	Landscape Comma
100/99	\| 2 -2 2 0 -1 >	17.40	Ptolemisma
121/120	\| -3 -1 -1 0 2 >	14.37	Biyatisma
176/175	\| 4 0 -2 -1 1 >	9.86	Valinorsma
65536/65219	\| 16 0 0 -2 -3 >	8.39	Orgonisma
385/384	\| -7 -1 1 1 1 >	4.50	Keenanisma
441/440	\| -3 2 -1 2 -1 >	3.93	Werckisma
4000/3993	\| 5 -1 3 0 -3 >	3.03	Wizardharry
3025/3024	\| -4 -3 2 -1 2 >	0.57	Lehmerisma
91/90	\| -1 -2 -1 1 0 1 >	19.13	Superleap
676/675	\| 2 -3 -2 0 0 2 >	2.56	Parizeksma

理論

The 15-Tone Scale System by Ivor Darreg Permalink

The Pentadecaphonic System

15-EDO Tutorial by Brent Carson Permalink

実践理論と本

Sword, Ronald. "Pendecaphonic Scales for Guitar" IAAA Press, UK-USA. First Ed: June 2009. 15平均律において知られている、すべての音階とテンペラメントファミリーのレポジトリ。300以上の例とコード進行がおさめられている。

15平均律

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