User:Triethylamine/draft: リーマンゼータ関数と調律
This is a draft of JP translation of The Riemann zeta function and tuning.
リーマンゼータ関数は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の "倍音性" を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか "無限リミット純正音程" までの全ての有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──Harmonic Entropy はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる "素数ゼータ関数" を基準にされることもある。
以下の文の多くはGene Ward Smithの洞察のおかげである。以下の内容の初めは Smith の行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smith の結果の一部を拡張した、Mike Battagliaによる別の導出が続く。
Gene Smithによるオリジナルの導出
導出の準備
x をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、x = 80 の場合、x は 15 セントのステップ サイズと純粋なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。x は連続値でも良く、分数または "非オクターヴ" の分割も表すことができるとする。ボーレン・ピアース・スケール(en)(3/1 の13等分)は、"オクターヴ" の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、x = 8.202 の値で表される。
ここで ||x|| を、x と x に最も近い整数との差を表すものとする。例えば、 ||8.202|| は8.202 と最も近い整数である 8 との差であるため、0.202となる。||7.95|| は 0.05 となる。これは、7.95 と最も近い整数である 8 との差である。数学的には、||x|| は床関数 floor() を用いて関数 |x - floor(x + 1/2)| と表せる。
どのような x の値に対しても、p-リミット一般化パテントヴァル(en)(generalized patent val)を構成できる。具体的には、p 以下の素数 q について、log2(q) × x を最も近い整数に丸める。以下の関数を考える。
[math]\displaystyle{ \xi(x) = \sum_2^p \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2 }[/math]
この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する極小値がある。極小値は、関連するヴァルのオクターヴのTenney-ユークリッド調律である x の値に対して発生します。一方、これらの最小値の ξは、val のテニー ユークリッド相対誤差の 2 乗であり、TE 誤差と TE 複雑度の積に等しいです。 、「TE 単純な悪さ」として知られることもあります。