User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間

このページではモンゾの正式な数学的定義を考え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。

定義

[math]\displaystyle{ p }[/math] -リミットの有理数 [math]\displaystyle{ q }[/math] は定義より [math]\displaystyle{ p }[/math] 以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。

[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p} }[/math]

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia ブラ-ケット記法を参照)を用いて、

[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle }[/math]

のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾと呼ぶ。この名前は、Joe Monzoの情熱的な支援に由来する。

モンゾのTenney高さ(en)は以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p }[/math]

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 [math]\displaystyle{ M:monzos \rightarrow I }[/math] によって [math]\displaystyle{ p }[/math] -リミットモンゾを次元 [math]\displaystyle{ n = \pi(p) }[/math] のノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] に埋め込むことができる。ただし [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] は素数計数関数。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] を張る離散部分群である。

もし素数 [math]\displaystyle{ k }[/math] に対応する座標 [math]\displaystyle{ e_k }[/math] に [math]\displaystyle{ \log_2 k }[/math] をかけて座標を変換したならば、そのノルムは通常の [math]\displaystyle{ L^1 }[/math]-ノルムとなる(詳細はマンハッタン距離を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この変換された座標と通常の [math]\displaystyle{ L^1 }[/math]-ノルムの組がTenney空間の標準基底を構成する。