User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間

このページではモンゾの正式な数学的定義を考え、また音程空間との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、モンゾを参照。

定義

p-リミットの有理数qは定義よりp以下の素数の積に分解でき、以下のようになる。

[math]\displaystyle{ q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p} }[/math]

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル(詳細はWikipedia ブラ-ケット記法を参照)を用いて、

[math]\displaystyle{ |e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle }[/math]

のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾと呼ぶ。この名前は、Joe Monzoの情熱的な支援に由来する。

モンゾのテニー高さ(en)は以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p }[/math]

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 [math]\displaystyle{ M:monzos \rightarrow I }[/math] によってp-リミットモンゾを次元 [math]\displaystyle{ n = \pi(p) }[/math] のノルム線型空間 I に埋め込むことができる。ただし[math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math]は素数計数関数。