User:Sintel/Dual Weil-Euclidean norm: Difference between revisions

W = \begin{bmatrix}

\log_2 2 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & \log_2 3 & \cdots &  0\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & \log_2 p

\end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix}

W \\

\hline

j

\end{bmatrix}

\left\langle \alpha, \beta \right\rangle^{\ast} = \alpha G^{-1} \beta^{\mathsf T} \\

||\alpha||^{\ast} = \sqrt{\left\langle \alpha,\alpha \right\rangle^{\ast}} = \sqrt{\alpha G^{-1} \alpha^{\mathsf T}}

G =  X^{\mathsf T} X = W^2 + j^{\mathsf T}j

G^{-1} = (W^2 + j^{\mathsf T}j)^{-1} = W^{-2} - \frac{1}{1+g} W^{-2}j^{\mathsf T}jW^{-2}

Now let <math>l = \begin{bmatrix}

\frac{1}{\log_2 2} & \frac{1}{\log_2 3} & \cdots & \frac{1}{\log_2 p} \\

\end{bmatrix} </math>, then

l = W^{-2}j \\

G^{-1} = W^{-2} - \frac{1}{1+g} l^{\mathsf T}l

j^{\mathsf T}j \circ W^{-2} = I_n \\

g = \text{tr}(BA^{-1}) = \text{tr}(j^{\mathsf T}j W^{-2}) = n

G^{-1} = W^{-2} - \frac{1}{n+1} l^{\mathsf T}l

G_a(\lambda) &= W^{-2} - \lambda \frac{W^{-2}j^{\mathsf T}jW^{-2}}{jW^{-2}j^{\mathsf T}} \\

&= W^{-2} - \lambda \frac{l^{\mathsf T}l}{n}

G_b(E) &= \frac{W^{-2}}{jW^{-2}j^{\mathsf T}} (1+E^2) -  \frac{W^{-2}j^{\mathsf T}jW^{-2}}{(jW^{-2}j^{\mathsf T})^2} \\

&= \frac{W^{-2}}{n} (1+E^2) -  \frac{l^{\mathsf T}l}{n^2}

G^{\prime}_b(E) = W^{-2} - \frac{1}{n(1+E^2)}l^{\mathsf T}l

X_k = \begin{bmatrix}

W \\

\hline

k\cdot j

\end{bmatrix}\\

G(k) =  X_k^{\mathsf T} X_k = W^2 + k^2j^{\mathsf T}j

G^{-1}(k) = W^{-2} - \frac{k^2}{nk^2+1} l^{\mathsf T}l

nk^2E^2 = 1\\

E = \sqrt{\frac{1}{nk^2}}\\

k = \sqrt{\frac{1}{nE^2}}