User:Dummy index/ヴァル: Difference between revisions

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'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。

'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎となるものである。EDOを参照するのにヴァルを使うことがよくある。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。

== 定義 ==

ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。どの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。

ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。リミット内のどの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。

ヴァルは通常、{{val| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。

Line 34:

任意のEDOのパテントヴァルは（EDOのOが純オクターブだとして）それぞれの素数音程が最も正確にマッピングされるステップ数を並べたものである。しかしながら、それ以外のステップ数を使いたい場合がよくある。例えば、5リミットのヴァル {{val| 17 27 40 }} は 5/4 を 353 セントではなく 424 セントにマップする。これは17平均律のパテントヴァルではないが、6/5 などほかの音程のマッピングが改善し全体のエラーが小さくなるため好まれる。非パテントヴァルは''wart''を末尾に付加することで特定される。wartはパテントヴァルからの偏りを示す。この場合では、5/1 を 2 番目に正確なステップ数にマッピングすることを指定したい。5 は 3 番目の素数なので、3 番目のアルファベットをオクターブ分割数の後ろに書いて、17c となる。

もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, ~~…となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる~~: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = ~~37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）~~

もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個の"c"は小さい近似、奇数個の"c"は大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では大小が逆になる場合もあるということ。）

一般的な規則:

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* なので、wart文字がない数字はパテントヴァルを意味する。

* wart文字が数字の''前に''つくことがある。これは何の素数音程を等分するのかを指定する。例えば、b13 は [[13edt|13ed3]] のパテントヴァルを意味する。オクターブを等分したい場合にわざわざ "a" をつけることは通常ない。

* In Graham ~~Breed's temperament finder, the wart letter~~ "p" ~~is used to make explicit that the number refers to the patent val (though the letter originally was intended to stand for~~ "prime"~~). Note that~~ "p" ~~is logically the letter for prime~~ 53.

* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "p" はパテントヴァルであることを明示することに使われる（文字の由来としてはパテントではなく素数"prime"の頭文字なのだが）。本来なら "p" は素数 53 を意味する。

* In Graham ~~Breed's temperament finder, the wart letter~~ "q" ~~and after refers each non-prime basis of composite~~/~~fractional subgroup, respectively and temporarily.~~

* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "q" とそれ以降は、特殊なサブグループの合成数や分数や53以上の素数の基底を表す場合に一時的にそれらに割り当てられる。

** 本Wiki上では、アルファベットではない文字（<nowiki>*</nowiki>や†）に置き換えたり、基底が明示される記法が検討されたりしている。

=== Sparse Offset Val notation ===

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Line 87:

テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントごとに音程表記を考える動機のひとつとして、コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマが汲み出され簡潔に書けなくなっていくことが挙げられよう）。これらは''~~tval~~''と''~~tmonzo~~''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val| 31 18 }} のように。

テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントの音程は純正音程で指し示すこともできるが、テンペラメントに合った音程表記を考えれば、音程の関係を簡潔に表せるし、コンマポンプをコンマが汲み出されないように簡潔に書くことができる）。これらは''tmonzo''と''tval''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val| 31 18 }} のように。

== ヴァルとマッピング ==

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ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。

# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。

# ~~ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）~~

# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼ぶ。）

# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値|''p''-進付値]]（[[Wikipedia:ja:重複度 (数学)#素因数の重複度|素因数の重複度]]（分母の場合は負））の線型結合である。（？）

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 {{Beginner-ja|ヴァルと調律空間}}
-'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。
+'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎となるものである。EDOを参照するのにヴァルを使うことがよくある。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。
 == 定義 ==
-ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。どの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。
+ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。リミット内のどの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。
 ヴァルは通常、{{val| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。
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 任意のEDOのパテントヴァルは（EDOのOが純オクターブだとして）それぞれの素数音程が最も正確にマッピングされるステップ数を並べたものである。しかしながら、それ以外のステップ数を使いたい場合がよくある。例えば、5リミットのヴァル {{val| 17 27 40 }} は 5/4 を 353 セントではなく 424 セントにマップする。これは17平均律のパテントヴァルではないが、6/5 などほかの音程のマッピングが改善し全体のエラーが小さくなるため好まれる。非パテントヴァルは''wart''を末尾に付加することで特定される。wartはパテントヴァルからの偏りを示す。この場合では、5/1 を 2 番目に正確なステップ数にマッピングすることを指定したい。5 は 3 番目の素数なので、3 番目のアルファベットをオクターブ分割数の後ろに書いて、17c となる。
-もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）
+もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個の"c"は小さい近似、奇数個の"c"は大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では大小が逆になる場合もあるということ。）
 一般的な規則:
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 * なので、wart文字がない数字はパテントヴァルを意味する。
 * wart文字が数字の''前に''つくことがある。これは何の素数音程を等分するのかを指定する。例えば、b13 は [[13edt|13ed3]] のパテントヴァルを意味する。オクターブを等分したい場合にわざわざ "a" をつけることは通常ない。
-* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "p" is used to make explicit that the number refers to the patent val (though the letter originally was intended to stand for "prime"). Note that "p" is logically the letter for prime 53.
+* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "p" はパテントヴァルであることを明示することに使われる（文字の由来としてはパテントではなく素数"prime"の頭文字なのだが）。本来なら "p" は素数 53 を意味する。
-* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "q" and after refers each non-prime basis of composite/fractional subgroup, respectively and temporarily.
+* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "q" とそれ以降は、特殊なサブグループの合成数や分数や53以上の素数の基底を表す場合に一時的にそれらに割り当てられる。
+** 本Wiki上では、アルファベットではない文字（<nowiki>*</nowiki>や†）に置き換えたり、基底が明示される記法が検討されたりしている。
 === Sparse Offset Val notation ===
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 {{Main| Tmonzos and tvals }}
-テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントごとに音程表記を考える動機のひとつとして、コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマが汲み出され簡潔に書けなくなっていくことが挙げられよう）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val| 31 18 }} のように。
+テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントの音程は純正音程で指し示すこともできるが、テンペラメントに合った音程表記を考えれば、音程の関係を簡潔に表せるし、コンマポンプをコンマが汲み出されないように簡潔に書くことができる）。これらは''tmonzo''と''tval''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val| 31 18 }} のように。
 == ヴァルとマッピング ==
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 ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。
 # ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。
-# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）
+# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼ぶ。）
 # ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値|''p''-進付値]]（[[Wikipedia:ja:重複度 (数学)#素因数の重複度|素因数の重複度]]（分母の場合は負））の線型結合である。（？）