User:Triethylamine/draft: リーマンゼータ関数と調律: Difference between revisions
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'''リーマンゼータ関数'''は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の「倍音性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの'''全ての'''有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。 | '''リーマンゼータ関数'''は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の「倍音性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの'''全ての'''有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。 | ||
その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──調和エントロピーはゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。 | |||
以下の文の多くは[[Gene Ward Smith]] | 以下の文の多くは[[Gene Ward Smith]]の洞察のおかげである。以下の内容の初めはSmithの行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smithの結果の一部を拡張した、[[User:Mike Battaglia|Mike Battaglia]]による別の導出が続く。 | ||
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==Gene Smithによるオリジナルの導出== | ==<span lang="ja">Gene Smithによるオリジナルの導出</span>== | ||
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===導出の準備=== | ===導出の準備=== | ||
''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または「非オクターヴ」の分割も表すことができるとする。[[Bohlen-Pierce scale|ボーレン・ピアース・スケール<sup>(en)</sup>]](3/1 の13等分)は、「オクターヴ」の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。 | ''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または「非オクターヴ」の分割も表すことができるとする。[[Bohlen-Pierce scale|ボーレン・ピアース・スケール<sup>(en)</sup>]](3/1 の13等分)は、「オクターヴ」の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。 | ||
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===critical stripの中へ=== | ===critical stripの中へ=== | ||
===Z関数=== | ===Z関数=== | ||
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==Mike Battagliaによる拡張の結果== | ==<span lang="ja">Mike Battagliaによる拡張の結果== | ||
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===ゼータは全ての有理数に対する「相対的な誤差」を表す=== | ===ゼータは全ての有理数に対する「相対的な誤差」を表す=== | ||
===結果の解釈:「余弦相対誤差」=== | ===結果の解釈:「余弦相対誤差」=== | ||
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===倍音のみ考慮した誤差測定=== | ===倍音のみ考慮した誤差測定=== | ||
===Harmonic Entropyとの関係=== | ===Harmonic Entropyとの関係=== | ||
==ゼータ平均律の表== | </div> | ||
==<span lang="ja">ゼータ平均律の表</span>== | |||
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===ゼータピーク平均律=== | ===ゼータピーク平均律=== | ||
===ゼータ積分平均律=== | ===ゼータ積分平均律=== | ||
===ゼータギャップ平均律=== | ===ゼータギャップ平均律=== | ||
===狭義ゼータ平均律=== | ===狭義ゼータ平均律=== | ||
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==最適なオクターブ伸縮== | ==<span lang="ja">最適なオクターブ伸縮</span>== | ||
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==素数を削除する== | </div> | ||
==<span lang="ja">素数を削除する</span>== | |||
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===黒魔術公式=== | ===黒魔術公式=== | ||
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==ゼータの機械計算== | ==<span lang="ja">ゼータの機械計算</span>== | ||
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==<span lang="ja">関連項目</span>== | |||
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==<span lang="ja">外部リンク</span>== | |||
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