User:Triethylamine/draft: リーマンゼータ関数と調律: Difference between revisions

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 '''リーマンゼータ関数'''は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の「倍音性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの'''全ての'''有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
-その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──Harmonic Entropy はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる "素数ゼータ関数" を基準にされることもある。
+その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──Harmonic Entropy はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。
 以下の文の多くは[[Gene Ward Smith]]の洞察のおかげである。以下の内容の初めは Smith の行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smith の結果の一部を拡張した、[[User:Mike Battaglia|Mike Battaglia]]による別の導出が続く。
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 ==Gene Smithによるオリジナルの導出==
 ===導出の準備===
-''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または "非オクターヴ" の分割も表すことができるとする。[[Bohlen-Pierce scale|ボーレン・ピアース・スケール<sup>(en)</sup>]](3/1 の13等分)は、"オクターヴ" の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。
+''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または「非オクターヴ」の分割も表すことができるとする。[[Bohlen-Pierce scale|ボーレン・ピアース・スケール<sup>(en)</sup>]](3/1 の13等分)は、「オクターヴ」の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。
 ここで ||''x''|| を、''x'' と ''x'' に最も近い整数との差を表すものとする。例えば、 ||8.202|| は 8.202 と最も近い整数である 8 との差であるため、0.202 となる。||7.95|| は 7.95 と最も近い整数である 8 との差なので 0.05 となる。数学的には、||''x''|| は床関数 floor() を用いて関数 |''x'' - floor(''x'' + 1/2)| と表せる。