User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間: Difference between revisions

<math>p</math> -リミットの有理数 <math>q</math> は定義より <math>p</math> 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

<math>q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p}</math>

<math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>

<math>\| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p</math>

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって <math>p</math> -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''¹-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の''L''¹-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。

<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \cdots + (e_p \log_2 p)^2}</math>

そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または''L''²-ノルムとなる。