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User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間: Difference between revisions

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ただし指数は整数である。
ただし指数は整数である。


これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照)を用いて、
これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、


<math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>
<math>|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>


のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。
のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo|Joe Monzo(en)]]の情熱的な支援にちなんでいる。


モンゾの[[Tenney height|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。
モンゾの[[Tenney height|Tenney高さ(en)]]は以下のように与えられる。


<math>\| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p</math>
<math>\| |e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \cdots + |e_p| \log_2 p</math>
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これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって <math>p</math> -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。
これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって <math>p</math> -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。


もし素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> をかけて座標を変換したならば、そのノルムは通常の <math>L^1</math>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はテニー音程空間であり、この変換された座標と通常の <math>L^1</math>-ノルムの組がテニー音程空間の標準基底を構成する。
素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo| 1 0 }}は周波数比2を表すが、{{monzo | 0 log<sub>3</sub> 2}}も同様に2を表す。
 
ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[Tenney-Euclidean metrics|Tenney-ユークリッド音程空間(en)]]が得られる。明示的に、モンゾ{{monzo | e<sub>2</sub> e<sub>3</sub> … e<sub>p</sub>}}をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。
 
<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \cdots + (e_p \log_2 p)^2}</math>
 
そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または''L''<sup>2</sup>-ノルムとなる。


==別の定義==
==別の定義==
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