User:Dummy index/一貫性: Difference between revisions
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あるN-[[オクターブ平均律|edo]]について、q [[アドリミット]]に属する奇数倍音を全て[[direct approximation|最近傍の平均律音程で近似]]したとき、奇数倍音間の音程が全て相当する純正音程の最近傍近似になっている場合、N-edoは q アドリミットの'''一貫性'''をもつという<ref>q アドリミットに含まれる音程がこの手順で過不足なく尽くされる；アドリミットの性質に依存した説明となっている。</ref>。例えば、 7 倍音を近似した音程と 5 倍音を近似した音程の差が 7/5 を近似した音程と一致する<ref>octave equivalenceを前提とするので、7/4 を近似した音程と 5/4 を近似した音程の差が 7/5 を近似した音程と一致するということと同値である。</ref>、というような関係が全て成立することをいう。また、更にこの最近傍近似が q アドリミットの全ての音程をそれぞれ異なる平均律音程に割り当てる（つまり[[wikipedia: | あるN-[[オクターブ平均律|edo]]について、q-[[アドリミット]]に属する奇数倍音を全て[[direct approximation|最近傍の平均律音程で近似]]したとき、奇数倍音間の音程が全て相当する純正音程の最近傍近似になっている場合、N-edoは q-アドリミットの'''一貫性'''をもつという<ref>q-アドリミットに含まれる音程がこの手順で過不足なく尽くされる；アドリミットの性質に依存した説明となっている。</ref>。例えば、 7 倍音を近似した音程と 5 倍音を近似した音程の差が 7/5 を近似した音程と一致する<ref>octave equivalenceを前提とするので、7/4 を近似した音程と 5/4 を近似した音程の差が 7/5 を近似した音程と一致するということと同値である。</ref>、というような関係が全て成立することをいう。また、更にこの最近傍近似が q-アドリミットの全ての音程をそれぞれ異なる平均律音程に割り当てる（つまり[[wikipedia:ja:単射|単射]]の）場合、'''distinctly consistent''' (aka uniquely consistent)という。例えば、7/5 と 10/7 を同一の平均律音程で近似することになるN-edoは[[7-odd-limit]]でdistinctly consistentにはならない。（ちなみにそういうN-edoの N は必ず偶数になる。） | ||
別の言い方では、それぞれの近似音程が、元の音程の素因数分解と[[ヴァル]]によって説明できるということが一貫性があるということである。 | 別の言い方では、それぞれの近似音程が、元の音程の素因数分解と[[ヴァル]]によって説明できるということが一貫性があるということである。 | ||
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一貫性は通常何らかのアドリミットを対象範囲とするが、アドリミットの音程集合の一部分のみを対象範囲とする場合もある。これはしばしば[[純正律サブグループ]]によって範囲制限される。また他の方法でも良い。例として、[[12平均律]]はno-11's, no-13's [[19-odd-limit]]において一貫性をもつ。これはつまり、 11 と 13 を飛ばして 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19 倍音に限ると一貫性が得られるということである。<ref>逆に純正律サブグループのみでは一貫性は成り立たない。純正音程と平均律音程は（オクターブそのもの等を除いて）一致しないことが証明されていて、最近傍近似には必ず誤差がある。このため純正音程を積み重ねてゆくと誤差も蓄積し、あるところで規則的なマッピングを継続できなくなる。</ref> | 一貫性は通常何らかのアドリミットを対象範囲とするが、アドリミットの音程集合の一部分のみを対象範囲とする場合もある。これはしばしば[[純正律サブグループ]]によって範囲制限される。また他の方法でも良い。例として、[[12平均律]]はno-11's, no-13's [[19-odd-limit]]において一貫性をもつ。これはつまり、 11 と 13 を飛ばして 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19 倍音に限ると一貫性が得られるということである。<ref>逆に純正律サブグループのみでは一貫性は成り立たない。純正音程と平均律音程は（オクターブそのもの等を除いて）一致しないことが証明されていて、最近傍近似には必ず誤差がある。このため純正音程を積み重ねてゆくと誤差も蓄積し、あるところで規則的なマッピングを継続できなくなる。</ref> | ||
あるN- | あるN-edoがコード C において一貫性がある、あるいはコード C がN-edo内で一貫性がある、という言い方ができる。これはそのコードの構成音程（根音基準）の最近傍近似がコード内の全ての音程（任意の2音間）の最近傍近似を導くことをいう。この方式では、『q-アドリミット』に相当する言い方は『コード 1:3:…:(q - 2):q』となる。 | ||
この概念は平均律のみでしか意味をなさない。オクターブに対して割り切れない音程を持つチューニングでは音程を重ねていけばいくらでも任意の純正音程に近づくことができるため、最近傍近似の意味を定めることができなくなる。<ref>音程を構成する範囲が明確に定められた[[scale|スケール]]ならば最近傍近似も出来るようになるが、不等間隔のスケールへの最近傍近似というのもあまり役に立たなそうである。</ref> | この概念は平均律のみでしか意味をなさない。オクターブに対して割り切れない音程を持つチューニングでは音程を重ねていけばいくらでも任意の純正音程に近づくことができるため、最近傍近似の意味を定めることができなくなる。<ref>音程を構成する範囲が明確に定められた[[scale|スケール]]ならば最近傍近似も出来るようになるが、不等間隔のスケールへの最近傍近似というのもあまり役に立たなそうである。</ref> | ||
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<references /> | <references /> | ||
== 数学的定義 == | == 数学的定義 == | ||
N 平均律が 1 つの [[オクターブ平均律|EDO]]であって、また任意の音程を r とし、「N(r)」を r という音程の N 平均律による最近傍近似とする。音程の集合を S とし、S に含まれる任意の音程 r<sub>i</sub>, r<sub>j</sub> について r<sub>i</sub>r<sub>j</sub> もまた S に含まれるとき、必ずN(r<sub>i</sub>r<sub>j</sub>) = N(r<sub>i</sub>) + N(r<sub>j</sub>)が成り立つ場合に、N 平均律が S において一貫性があるという。 | N-平均律が 1 つの [[オクターブ平均律|EDO]]であって、また任意の音程を r とし、「N-edo(r)」を r という音程の N-平均律による最近傍近似とする。音程の集合を S とし、S に含まれる任意の音程 r<sub>i</sub>, r<sub>j</sub> について r<sub>i</sub>r<sub>j</sub> もまた S に含まれるとき、必ずN-edo(r<sub>i</sub>r<sub>j</sub>) = N-edo(r<sub>i</sub>) + N-edo(r<sub>j</sub>)が成り立つ場合に、N-平均律が S において一貫性があるという。 | ||
== 例 == | == 例 == | ||
一例として、特定のアドリミットで一貫性のない [[25平均律 | 一例として、特定のアドリミットで一貫性のない [[25平均律]]のシステムを取り上げる。 | ||
25平均律の [[7/6|7/6]] (the septimal subminor third、266.87 cent)のよい近似値は、6 ステップ(48*6=288 cent)である。そしてまた、[[3/2|3/2]] (perfect fifth、702 cent、perfect fifth)は 15 ステップ(48*15=720 cent)である。2 つの純正音程を加えることは、3/2 * 7/6 = 7/4 (968.83 cent)を与える。この時、25平均律は 288+720=1008 cent(21 ステップ、48*21=1008)である。そのハーモニックセブンス 7/4 は、25平均律の良い近似値で 20 ステップ(48*20=960cent)である。しかしながら、2 つの近似音程を加えると 21 ステップを与える。これは25平均律が7アドリミットのなかで一貫性がないことを意味する。 | |||
7アドリミットで一貫性のあるシステムの例は12平均律である。3/2 は 7 ステップ、7/6 は 3 ステップ、7/4 は 10 ステップに近似され、10 ステップは 7 ステップと 3 ステップの和に一致する。12平均律はまた9アドリミットにおいても一貫性があるが11アドリミットではそうではない。 | |||
== | == ノンオクターブスケールへの一般化 == | ||
一貫性のコンセプトを[[ノンオクターブ]]平均律に拡張することは可能である。オクターブ等価性を捨て、アドリミットの代わりに整数リミットを用いることになる。 | 一貫性のコンセプトを[[ノンオクターブ]]平均律に拡張することは可能である。オクターブ等価性を捨て、アドリミットの代わりに整数リミットを用いることになる。 | ||