User:Zhenlige/RTT notes: Difference between revisions

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~~'''注意：本页面为公开的个人笔记，内容可能存在中英夹杂、前后联系不清晰等现象。'''~~

~~'''Note: This page contains public personal notes, and may show phenomenons like mixing~~ Chinese ~~and English or fuzzy connections between contents.'''~~

<math>\vec{a}</math>：向量vector <math>\overleftarrow{a}</math>：covector

== 对偶范数 dual norm ==

若向量范数<math>f(\vec{a}),g(\vec{b})</math>使<math>g(\vec{b})=\sup\left\{x\~~Big~~|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{a})},\vec{a}\neq\vec{0}\right\}</math>且<math>f(\vec{a})=\sup\left\{x\~~Big~~|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{b})},\vec{b}\neq\vec{0}\right\}</math>，则称<math>f,g</math>为对偶范数。

若向量范数<math>f(\vec{a}),g(\vec{b})</math>使<math>g(\vec{b})=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{a})},\vec{a}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>且<math>f(\vec{a})=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{g(\vec{b})},\vec{b}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>，则称<math>f,g</math>为对偶范数。

定理1：<math>p</math>范数<math>\|\vec{a}\|_p=\left(\sum_i|a_i|^p\right)^\frac1p,p>1</math>的对偶范数为<math>q</math>范数，其中<math>q=\frac{p}{p-1}</math>。1范数的对偶为∞范数<math>\|\vec{a}\|_\infty=\lim_{p\to+\infty}\|\vec{a}\|_p=\max|a_i|</math>。

证明：注意到<math>(p-1)(q-1)=1</math>。考虑函数<math>f_q(\vec{b})=\sum_i|b_i|^q=\|\vec{b}\|_q^q</math>，其梯度为<math>\nabla f_q(\vec{b})=q\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(b_1)|b_1|^{q-1}&\mathrm{sgn}(b_2)|b_2|^{q-1}&\cdots&\mathrm{sgn}(b_n)|b_n|^{q-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>。

对于零向量，原式显然成立。对于任意非零向量<math>\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，考虑向量<math>\vec{b}=\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(a_1)|a_1|^{p-1}&\mathrm{sgn}(a_2)|a_2|^{p-1}&\cdots&\mathrm{sgn}(a_n)|a_n|^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，得：

<math>\|\vec{a}\|_p\|\vec{b}\|_q=\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac1p\left(|a_1|^{(p-1)q}+|a_2|^{(p-1)q}+\cdots+|a_n|^{(p-1)q}\right)^\frac1q</math> <math> =\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac1p\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac{p-1}{p}</math> <math> =|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p</math> <math> =\vec{a}\cdot\vec{b}</math>

由于<math>\vec{a}=\frac1q\nabla f_q(\vec{b})</math>，由范数的性质，当任意向量<math>\vec{c}</math>满足<math>\|\vec{c}\|_q=\|\vec{b}\|_q</math>时，<math>\vec{a}\cdot\vec{c}\leq\vec{a}\cdot\vec{b}</math>。由此得任意非零向量<math>\vec{c}</math>满足<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_q}\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|_q}=\|\vec{a}\|_p</math>，即<math>\|\vec{a}\|_p=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|_q},\vec{b}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>。同理可证<math>\|\vec{b}\|_q=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|_p},\vec{a}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>。

极限情况：对于1范数，考虑<math>\vec{b}=\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(a_1)&\mathrm{sgn}(a_2)&\cdots&\mathrm{sgn}(a_n)\end{bmatrix}</math>，则<math>\|\vec{b}\|_\infty=1</math>，<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|_1</math>。对于任意非零向量<math>\vec{c}</math>，<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_\infty}=\frac{\sum_ia_ic_i}{\|\vec{c}\|_\infty}\leq\frac{\sum_i\left|a_i\|\vec{c}\|_\infty\right|}{\|\vec{c}\|_\infty}=\|\vec{a}\|_1</math>。对于∞范数，设<math>\|\vec{a}\|_\infty=|a_m|</math>，考虑<math>b_i=\left\{\begin{matrix}\mathrm{sgn}(a_m)&,i=m\\0&,i\neq m\end{matrix}\right.</math>，则<math>\|\vec{b}\|_1=1</math>，<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|_\infty</math>。对于任意非零向量<math>\vec{c}</math>，<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_1}=\frac{\sum_ia_ic_i}{\|\vec{c}\|_1}\leq\frac{\sum_i\left|\|\vec{a}\|_\infty c_i\right|}{\|\vec{c}\|_1}=\|\vec{a}\|_\infty</math>。

推论：欧式范数的对偶为自身。

定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{n,n}</math>为可逆矩阵。

证明：<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}^\mathrm{T}\vec{a}=\vec{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\vec{a}=(\boldsymbol{A}\vec{a})\cdot\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>。

定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{m,n}</math>为列满秩矩阵。

证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}_{n,n}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}_{m,m}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}_{m,m-n}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

<math>

\begin{matrix}

& & \begin{bmatrix}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\

& \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}_{n,n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,n}&\mathbf{E}_{m-n,m-n}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\

\boldsymbol{O}_{m,m} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{m,n}&\boldsymbol{C}_{m,m-n}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}_{m,1}

\end{matrix}

</math>

~~定理：欧式范数的对偶为自身。证明：显然。~~

则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}_{n,m-n}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>为可逆矩阵，且<math>\boldsymbol{A}</math>与<math>\boldsymbol{C}</math>列空间正交。

~~定理：<math>p</math>范数~~<math>\|\~~vec~~{a}\~~|_p~~=\~~left(~~\~~sum_ia_i^p~~\~~right)^~~\~~frac1p~~,~~p>1</math>的对偶范数为<math>q~~</math>~~范数，其中~~<math>q=\~~frac~~{~~p}{p-1~~}</math>~~。1范数的对偶为∞范数~~<math>\~~|\vec~~{a}~~\|_\infty=\lim\limits_{p\to\infty}\|\vec{a}\|_p=\max|a_i|~~</math>。

设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}_{n,m}\\ \boldsymbol{F}_{m-n,m}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

~~证明：注意到~~<math>(p-1~~)(q~~-1)=1</math>~~。考虑函数~~<math>~~f_p~~(\vec{a})=\~~sum_ia_i~~^p=\|\vec{a}\|~~_p^p~~</math>~~，其梯度为~~<math>\~~nabla f_p(~~\~~vec~~{a})=p\begin{bmatrix}~~a_1^~~{~~p-1~~}&~~a_2^~~{~~p-1~~}&\~~cdots&a_n^~~{p-1}\end{bmatrix}^\~~mathrm~~{T}</math>。

<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}_{m}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}_{n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。

~~对于任意向量<math>\vec{a}~~=~~\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，考虑向量<math>\vec{b}~~=~~\begin{bmatrix}a_1^{p~~-1}&~~a_2^{p~~-~~1}&\cdots&a_n^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>~~

== 范数优化调音 norm-optimized tuning ==

参考：[[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/All-interval tuning schemes]]

~~== ''p''范数调律 ''p''-norm tuning ==~~

目标：最小化损害<math>\frac{|\overleftarrow{r}\vec{\mathrm{i}}|}{f(\vec{\mathrm{i}})}</math>的上界，其中<math>f</math>为范数函数。根据对偶范数定义，即最小化<math>\mathrm{dual}_f\left(\overleftarrow{r}^\mathrm{T}\right)</math>。

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-'''Note: This page contains public personal notes, and may show phenomenons like mixing Chinese and English or fuzzy connections between contents.'''
 <math>\vec{a}</math>：向量vector <math>\overleftarrow{a}</math>：covector
 == 对偶范数 dual norm ==
-若向量范数<math>f(\vec{a}),g(\vec{b})</math>使<math>g(\vec{b})=\sup\left\{x\Big|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{a})},\vec{a}\neq\vec{0}\right\}</math>且<math>f(\vec{a})=\sup\left\{x\Big|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{b})},\vec{b}\neq\vec{0}\right\}</math>，则称<math>f,g</math>为对偶范数。
+若向量范数<math>f(\vec{a}),g(\vec{b})</math>使<math>g(\vec{b})=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{f(\vec{a})},\vec{a}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>且<math>f(\vec{a})=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{g(\vec{b})},\vec{b}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>，则称<math>f,g</math>为对偶范数。
+定理1：<math>p</math>范数<math>\|\vec{a}\|_p=\left(\sum_i|a_i|^p\right)^\frac1p,p>1</math>的对偶范数为<math>q</math>范数，其中<math>q=\frac{p}{p-1}</math>。1范数的对偶为∞范数<math>\|\vec{a}\|_\infty=\lim_{p\to+\infty}\|\vec{a}\|_p=\max|a_i|</math>。
+证明：注意到<math>(p-1)(q-1)=1</math>。考虑函数<math>f_q(\vec{b})=\sum_i|b_i|^q=\|\vec{b}\|_q^q</math>，其梯度为<math>\nabla f_q(\vec{b})=q\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(b_1)|b_1|^{q-1}&\mathrm{sgn}(b_2)|b_2|^{q-1}&\cdots&\mathrm{sgn}(b_n)|b_n|^{q-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>。
+对于零向量，原式显然成立。对于任意非零向量<math>\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，考虑向量<math>\vec{b}=\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(a_1)|a_1|^{p-1}&\mathrm{sgn}(a_2)|a_2|^{p-1}&\cdots&\mathrm{sgn}(a_n)|a_n|^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，得：
+<math>\|\vec{a}\|_p\|\vec{b}\|_q=\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac1p\left(|a_1|^{(p-1)q}+|a_2|^{(p-1)q}+\cdots+|a_n|^{(p-1)q}\right)^\frac1q</math> <math> =\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac1p\left(|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p\right)^\frac{p-1}{p}</math> <math> =|a_1|^p+|a_2|^p+\cdots+|a_n|^p</math> <math> =\vec{a}\cdot\vec{b}</math>
+由于<math>\vec{a}=\frac1q\nabla f_q(\vec{b})</math>，由范数的性质，当任意向量<math>\vec{c}</math>满足<math>\|\vec{c}\|_q=\|\vec{b}\|_q</math>时，<math>\vec{a}\cdot\vec{c}\leq\vec{a}\cdot\vec{b}</math>。由此得任意非零向量<math>\vec{c}</math>满足<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_q}\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|_q}=\|\vec{a}\|_p</math>，即<math>\|\vec{a}\|_p=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|_q},\vec{b}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>。同理可证<math>\|\vec{b}\|_q=\sup\left\{x\left|x=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|_p},\vec{a}\neq\vec{0}\right.\right\}</math>。
+极限情况：对于1范数，考虑<math>\vec{b}=\begin{bmatrix}\mathrm{sgn}(a_1)&\mathrm{sgn}(a_2)&\cdots&\mathrm{sgn}(a_n)\end{bmatrix}</math>，则<math>\|\vec{b}\|_\infty=1</math>，<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|_1</math>。对于任意非零向量<math>\vec{c}</math>，<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_\infty}=\frac{\sum_ia_ic_i}{\|\vec{c}\|_\infty}\leq\frac{\sum_i\left|a_i\|\vec{c}\|_\infty\right|}{\|\vec{c}\|_\infty}=\|\vec{a}\|_1</math>。对于∞范数，设<math>\|\vec{a}\|_\infty=|a_m|</math>，考虑<math>b_i=\left\{\begin{matrix}\mathrm{sgn}(a_m)&,i=m\\0&,i\neq m\end{matrix}\right.</math>，则<math>\|\vec{b}\|_1=1</math>，<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|_\infty</math>。对于任意非零向量<math>\vec{c}</math>，<math>\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{\|\vec{c}\|_1}=\frac{\sum_ia_ic_i}{\|\vec{c}\|_1}\leq\frac{\sum_i\left|\|\vec{a}\|_\infty c_i\right|}{\|\vec{c}\|_1}=\|\vec{a}\|_\infty</math>。
+推论：欧式范数的对偶为自身。
+定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{n,n}</math>为可逆矩阵。
+证明：<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}^\mathrm{T}\vec{a}=\vec{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\vec{a}=(\boldsymbol{A}\vec{a})\cdot\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>。
+定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{m,n}</math>为列满秩矩阵。
+证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}_{n,n}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}_{m,m}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}_{m,m-n}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
+<math>
+\begin{matrix}
+ &  & \begin{bmatrix}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\
+ & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}_{n,n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,n}&\mathbf{E}_{m-n,m-n}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\
+\boldsymbol{O}_{m,m} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{m,n}&\boldsymbol{C}_{m,m-n}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}_{m,1}
+\end{matrix}
+</math>
-定理：欧式范数的对偶为自身。证明：显然。
+则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}_{n,m-n}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>为可逆矩阵，且<math>\boldsymbol{A}</math>与<math>\boldsymbol{C}</math>列空间正交。
-定理：<math>p</math>范数<math>\|\vec{a}\|_p=\left(\sum_ia_i^p\right)^\frac1p,p>1</math>的对偶范数为<math>q</math>范数，其中<math>q=\frac{p}{p-1}</math>。1范数的对偶为∞范数<math>\|\vec{a}\|_\infty=\lim\limits_{p\to\infty}\|\vec{a}\|_p=\max|a_i|</math>。
+设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}_{n,m}\\ \boldsymbol{F}_{m-n,m}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
-证明：注意到<math>(p-1)(q-1)=1</math>。考虑函数<math>f_p(\vec{a})=\sum_ia_i^p=\|\vec{a}\|_p^p</math>，其梯度为<math>\nabla f_p(\vec{a})=p\begin{bmatrix}a_1^{p-1}&a_2^{p-1}&\cdots&a_n^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>。
+<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}_{m}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}_{n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。
-对于任意向量<math>\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>，考虑向量<math>\vec{b}=\begin{bmatrix}a_1^{p-1}&a_2^{p-1}&\cdots&a_n^{p-1}\end{bmatrix}^\mathrm{T}</math>
+== 范数优化调音 norm-optimized tuning ==
+参考：[[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/All-interval tuning schemes]]
-== ''p''范数调律 ''p''-norm tuning ==
+目标：最小化损害<math>\frac{|\overleftarrow{r}\vec{\mathrm{i}}|}{f(\vec{\mathrm{i}})}</math>的上界，其中<math>f</math>为范数函数。根据对偶范数定义，即最小化<math>\mathrm{dual}_f\left(\overleftarrow{r}^\mathrm{T}\right)</math>。