User:Zhenlige/RTT notes: Difference between revisions

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~~'''注意：本页面为公开的个人笔记，内容可能存在中英夹杂、前后联系不清晰等现象。'''~~

~~'''Note: This page contains public personal notes, and may show phenomenons like mixing~~ Chinese ~~and English or fuzzy connections between contents.'''~~

<math>\vec{a}</math>：向量vector <math>\overleftarrow{a}</math>：covector

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推论：欧式范数的对偶为自身。

定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}</math>为可逆矩阵。

定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{n,n}</math>为可逆矩阵。

证明：<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}^\mathrm{T}\vec{a}=\vec{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\vec{a}=(\boldsymbol{A}\vec{a})\cdot\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>。

定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}</math>为列满秩矩阵。

定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{m,n}</math>为列满秩矩阵。

证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}_{n,n}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}_{m,m}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}_{m,m-n}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

<math>

\begin{matrix}

& & \begin{bmatrix}\vec{a}\\ \boldsymbol{0}\end{bmatrix} \\

& & \begin{bmatrix}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\

& \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}\\ \boldsymbol{0}\end{bmatrix} \\

& \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}_{n,n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,n}&\mathbf{E}_{m-n,m-n}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\

\boldsymbol{O} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}

\boldsymbol{O}_{m,m} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{m,n}&\boldsymbol{C}_{m,m-n}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}_{m,1}

\end{matrix}

</math>

则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}\\ \mathbf{E}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}\\ \mathbf{E}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>~~为可逆矩阵。~~

则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}_{n,m-n}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>为可逆矩阵，且<math>\boldsymbol{A}</math>与<math>\boldsymbol{C}</math>列空间正交。

设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}_{n,m}\\ \boldsymbol{F}_{m-n,m}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。

<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。

<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}_{m}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}_{n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。

== ~~范数优化调律~~ norm-optimized tuning ==

== 范数优化调音 norm-optimized tuning ==

参考：[[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/All-interval tuning schemes]]

目标：最小化损害<math>\frac{|\overleftarrow{r}\vec{\mathrm{i}}|}{f(\vec{\mathrm{i}})}</math>的上界，其中<math>f</math>为范数函数。根据对偶范数定义，即最小化<math>\mathrm{dual}_f\left(\overleftarrow{r}^\mathrm{T}\right)</math>。

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-'''注意：本页面为公开的个人笔记，内容可能存在中英夹杂、前后联系不清晰等现象。'''
+{{Foreign language|Simplified Chinese}}
-'''Note: This page contains public personal notes, and may show phenomenons like mixing Chinese and English or fuzzy connections between contents.'''
 <math>\vec{a}</math>：向量vector <math>\overleftarrow{a}</math>：covector
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 推论：欧式范数的对偶为自身。
-定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}</math>为可逆矩阵。
+定理2：若<math>f(\vec{a})</math>与<math>g(\vec{b})</math>为对偶，则斜范数（skewed norm）<math>f_s(\vec{a})=f(\boldsymbol{A}\vec{a})</math>的对偶为<math>g_s(\vec{b})=g\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{n,n}</math>为可逆矩阵。
 证明：<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}^\mathrm{T}\vec{a}=\vec{b}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}\vec{a}=(\boldsymbol{A}\vec{a})\cdot\left(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right)</math>。
-定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}</math>为列满秩矩阵。
+定理3：欧式斜范数<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{A}\vec{a}|</math>的对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{A}^+\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，其中<math>\boldsymbol{A}_{m,n}</math>为列满秩矩阵。
-证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
+证明：必然存在可逆矩阵<math>\boldsymbol{B}_{n,n}</math>、正交矩阵<math>\boldsymbol{O}_{m,m}</math>和列满秩矩阵<math>\boldsymbol{C}_{m,m-n}</math>，使<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\mathbf{E}</math>为单位矩阵，<math>\boldsymbol{B}</math>的阶数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
 <math>
 \begin{matrix}
-  &  & \begin{bmatrix}\vec{a}\\ \boldsymbol{0}\end{bmatrix} \\
+  &  & \begin{bmatrix}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\
-  & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}\\ \boldsymbol{0}\end{bmatrix} \\
+  & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}_{n,n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,n}&\mathbf{E}_{m-n,m-n}\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\vec{a}_{n,1}\\ \boldsymbol{0}_{m-n,1}\end{bmatrix} \\
-\boldsymbol{O} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}
+\boldsymbol{O}_{m,m} & \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}_{m,n}&\boldsymbol{C}_{m,m-n}\end{bmatrix} & \boldsymbol{A}\vec{a}_{m,1}
 \end{matrix}
 </math>
-则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}\\ \mathbf{E}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}\\ \mathbf{E}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>为可逆矩阵。
+则<math>f(\vec{a})=|\boldsymbol{B}\vec{a}|</math>，其对偶为<math>g(\vec{b})=\left|\left(\boldsymbol{B}^{-1}\right)^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，且<math>\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^\mathrm{T}\boldsymbol{O}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^\mathrm{T}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{0}_{n,m-n}\\ \mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}_{n,m-n}</math>，<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}</math>为可逆矩阵，且<math>\boldsymbol{A}</math>与<math>\boldsymbol{C}</math>列空间正交。
-设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
+设<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}_{n,m}\\ \boldsymbol{F}_{m-n,m}\end{bmatrix}</math>，其中<math>\boldsymbol{D}</math>的行数与<math>\boldsymbol{A}</math>的列数相等。
-<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。
+<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}^{-1}\boldsymbol{O}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}&\mathbf{E}_{m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}^{-1}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}\boldsymbol{O}^{-1}</math>，<math>g(\vec{b})=\left|\boldsymbol{D}^\mathrm{T}\vec{b}\right|</math>，又<math>\begin{bmatrix}\boldsymbol{D}\\ \boldsymbol{F}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\mathbf{E}_{m}</math>，<math>\boldsymbol{D}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{E}_{n}&\boldsymbol{0}_{n,m-n}\end{bmatrix}</math>，<math>\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}^+</math>，得证。
-== 范数优化调律 norm-optimized tuning ==
+== 范数优化调音 norm-optimized tuning ==
 参考：[[Dave Keenan & Douglas Blumeyer's guide to RTT/All-interval tuning schemes]]
 目标：最小化损害<math>\frac{|\overleftarrow{r}\vec{\mathrm{i}}|}{f(\vec{\mathrm{i}})}</math>的上界，其中<math>f</math>为范数函数。根据对偶范数定义，即最小化<math>\mathrm{dual}_f\left(\overleftarrow{r}^\mathrm{T}\right)</math>。