User:Triethylamine/draft: リーマンゼータ関数と調律: Difference between revisions

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+<div lang="ja">
+'''リーマンゼータ関数'''は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の「倍音性」を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか「無限リミット純正音程」までの'''全ての'''有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
-'''リーマンゼータ関数'''は有名な数学関数であり、200年もの間未解決の素数の分布に関する問題である、リーマン予想との関係がよく知られている。しかし、平均律の "倍音性" を測定するという驚くべき音楽的解釈もある。簡単に言うと、ある意味でゼータ関数は、与えられた平均律が倍音列、それどころか "無限リミット純正音程" までの'''全ての'''有理数までもに対し、どの程度近似しているかを示してくれる。
+その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──調和エントロピーはゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる「素数ゼータ関数」を基準にされることもある。
-その結果、ゼータ関数は解析的整数論への使用が最もよく知られているが、調律論の背景にも常に存在している──Harmonic Entropy はゼータ関数のフーリエ変換に関連する可能性があることを示している。また、無限リミットまで拡張すると、種々の調律論的な計量から、ゼータ関数と関連する式が得られる。時々、これらはゼータ関数のシンプルな式から導出できる "素数ゼータ関数" を基準にされることもある。
+以下の文の多くは[[Gene Ward Smith]]の洞察のおかげである。以下の内容の初めはSmithの行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smithの結果の一部を拡張した、[[User:Mike Battaglia|Mike Battaglia]]による別の導出が続く。
+</div>
-以下の文の多くは[[Gene Ward Smith]]の洞察のおかげである。以下の内容の初めは Smith の行ったオリジナルの導出であり、その後に、Smith の結果の一部を拡張した、[[User:Mike Battaglia|Mike Battaglia]]による別の導出が続く。
+==<span lang="ja">Gene Smithによるオリジナルの導出</span>==
+<div lang="ja">
-==Gene Smithによるオリジナルの導出==
 ===導出の準備===
-''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または "非オクターヴ" の分割も表すことができるとする。[[Bohlen-Pierce scale|ボーレン・ピアース・スケール<sup>(en)</sup>]](3/1 の13等分)は、"オクターヴ" の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。
+''x'' をオクターヴの等分割を表す変数であるとする。例えば、''x'' = 80 の場合、''x'' は 15 セントのステップ サイズと純正なオクターヴを持つ80平均律であることを表す。''x'' は連続値でも良く、分数または「非オクターヴ」の分割も表すことができるとする。{{en仮リンク|ボーレン・ピアース・スケール|Bohlen-Pierce scale}}(3/1 の13等分)は、「オクターヴ」の約 8.202 等分であり(ただし、オクターヴ自体はこのチューニングには現れない)、したがって、''x'' = 8.202 の値で表される。
 ここで ||''x''|| を、''x'' と ''x'' に最も近い整数との差を表すものとする。例えば、 ||8.202|| は 8.202 と最も近い整数である 8 との差であるため、0.202 となる。||7.95|| は 7.95 と最も近い整数である 8 との差なので 0.05 となる。数学的には、||''x''|| は床関数 floor() を用いて関数 |''x'' - floor(''x'' + 1/2)| と表せる。
-どのような ''x'' の値に対しても、''p''-リミット[[Patent val|一般化パテントヴァル<sup>(en)</sup>]](generalized patent val)を構成できる。具体的には、''p'' 以下の素数 ''q'' について、log<sub>2</sub>(''q'') × ''x'' を最も近い整数に丸めたものが、''q'' に対応する値となる。つまり |floor(''x'' log<sub>2</sub>(''q'') + 1/2)| である。
+どのような ''x'' の値に対しても、''p''-リミット{{en仮リンク|一般化パテントヴァル|Patent val}}(generalized patent val)を構成できる。具体的には、''p'' 以下の素数 ''q'' について、log<sub>2</sub>(''q'') × ''x'' を最も近い整数に丸めたものが、''q'' に対応する値となる。つまり floor(''x'' log<sub>2</sub>(''q'') + 1/2) である。
-ここで、以下の関数を考える。
+ここで、以下の関数を考える。<math>\mathbb{P}</math> を素数全体の集合とする。
-<math>\xi(x) = \sum_2^p \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math>
+:<math>\displaystyle \xi_p(x) = \sum_{q \in \mathbb{P} \\ q \le p} \left(\frac{||x \log_2 q||}{\log_2 q}\right)^2</math>
-この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連するヴァルのオクターヴのTenney-ユークリッド調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における ξ の値は、ヴァルのTenney-ユークリッド相対誤差の 2 乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。"TE単純悪さ" として知られていることもある。
+この関数には、関連する一般化パテントヴァルに対応する局所的極小値がある。極小値は、関連するヴァルのオクターヴのTenney-ユークリッド調律である ''x'' の値に対して発生する。一方、これらの極小値における ''ξ'' の値は、ヴァルのTenney-ユークリッド相対誤差の 2 乗であり、TE誤差とTE複雑度の積に等しい。「TE単純悪さ」として知られていることもある。
 ここで、特定の素数リミットの式ではなく、すべての素数に適用される式が必要だとする。上式は収束しないため、無限和にすることはできない。しかし、重み係数をべき乗に変更すると収束するようになる。
-<math>\sum_2^\infty \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math>
+:<math>\displaystyle \sum_{q \in \mathbb{P}} \frac{||x \log_2 q||^2}{q^s}</math>
-(未推敲)
+(以下未推敲)
-s が 1 より大きい場合、これは収束する。ただし、いくつかの調整が必要になる場合があります。まず、調整が一貫しているほど誤差が十分に低い場合、素数の 2 乗の誤差は素数の 2 倍になり、3 乗の誤差は 3 倍になり、誤差が一貫性がなくなるまで続きます。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にテニーユークリッド測定値に含まれていると考えることができます。各素数べき乗 p^n に 1/n の係数を追加することで、それらを含めることができます。これを実行した結果を記述するためのやや独特ですが便利な方法は、フォン マンゴルト関数を使用したものです。これは、素数べき乗 p^n では ln p に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数の算術関数です。これは、大文字のラムダを使用して Λ(n) として記述され、これに関して、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができます。
+''s'' が 1 より大きい場合、これは収束する。ただし、いくつかの調整が必要になる場合があります。まず、調整が一貫しているほど誤差が十分に低い場合、素数の 2 乗の誤差は素数の 2 倍になり、3 乗の誤差は 3 倍になり、誤差が一貫性がなくなるまで続きます。重み付けに対数が使用され、誤差測定値が一貫している場合、対数重み付けによってこの効果が打ち消されるため、素数べき乗が暗黙的にテニーユークリッド測定値に含まれていると考えることができます。各素数べき乗 p^n に 1/n の係数を追加することで、それらを含めることができます。これを実行した結果を記述するためのやや独特ですが便利な方法は、フォン マンゴルト関数を使用したものです。これは、素数べき乗 p^n では ln p に等しく、その他の場合は 0 となる正の整数の算術関数です。これは、大文字のラムダを使用して Λ(n) として記述され、これに関して、誤差関数に素数べき乗を次のように含めることができます。
 ===critical stripの中へ===
 ===Z関数===
+</div>
-==Mike Battagliaによる拡張の結果==
+==<span lang="ja">Mike Battagliaによる拡張の結果==
-===ゼータは全ての有理数に対する "相対的な誤差" を表す===
+<div lang="ja">
-===結果の解釈: "余弦相対誤差"===
+===ゼータは全ての有理数に対する「相対的な誤差」を表す===
+===結果の解釈:「余弦相対誤差」===
 ===reduceされていない有理数からされた有理数へ===
 ===倍音のみ考慮した誤差測定===
 ===Harmonic Entropyとの関係===
-==ゼータ平均律の表==
+</div>
+==<span lang="ja">ゼータ平均律の表</span>==
+<div lang="ja">
 ===ゼータピーク平均律===
 ===ゼータ積分平均律===
 ===ゼータギャップ平均律===
 ===狭義ゼータ平均律===
+</div>
-==最適なオクターブ伸縮==
+==<span lang="ja">最適なオクターブ伸縮</span>==
+<div lang="ja">
-==素数を削除する==
+</div>
+==<span lang="ja">素数を削除する</span>==
+<div lang="ja">
 ===黒魔術公式===
+</div>
-==ゼータの機械計算==
+==<span lang="ja">ゼータの機械計算</span>==
+<div lang="ja">
-==リンク==
+</div>
+==<span lang="ja">関連項目</span>==
+<div lang="ja">
+</div>
+==<span lang="ja">外部リンク</span>==
+<div lang="ja">
+</div>