19平均律

19平均律は19ET、19TET、19EDOなどとも呼ばれ、オクターブを均等に19分割したものである。各ステップの周波数比は2の19乗根であり、約63.16セントである。17平均律の後であり、23平均律の前に位置する、8番目の素数平均律である。

理論

歴史

この調律システムへの関心は16世紀、作曲家のGuillaume Costeleyが自身の1558年のシャンソン Seigneur Dieu ta pitié に使用した頃にさかのぼる。Costeleyはこの調律の循環する側面を理解し、また欲しており、彼はこの調律を、純正長2度を3つのほぼ等しい間隔に分割するものと定義した。Costeleyは減3度などの音程を活用した作品も作った。減3度は19平均律としては意味を持つが、当時の他の調律システムでは意味のないものである。

1577年、音楽理論家のFrancisco de Salinasは、1/3-コンマミーントーン^(en)を提案した。その5度の大きさは約 694.786 セントである。19平均律の5度は約 694.737 セントであり、これは約12分の1セント程低いだけである。Salinasはオクターブをこの調律方法で19音に調律することを提案したが、19平均律と比べ1セントにも満たない差しかないので、彼の提案は実質19平均律であった。

1835年、数学者であり音楽理論家のWesley Woolhouseは、彼自身がより良いミーントーン調律だと考えている50平均律^(en)などの、より実用的な代替手段としてこの音律を提案した(Woolhouseのエッセイの要約)。

19平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=19, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

EDO	interval	cent	DMS	The "neighborhood" of JI	Japanese name	ratio	diff cent	cent	diff DMS	DMS
19	0	0.00	0.00
	1	63.16	18.95
	2	126.32	37.89	minor diatonic semitone	ダイアトニックの短2度	16/15	14.58	111.73	4.38	33.52
	2	126.32	37.89	major diatonic semitone	ダイアトニックの長2度	15/14	6.87	119.44	2.06	35.83
	2	126.32	37.89	2/3-tone	2/3全音	14/13	-1.98	128.30	-0.59	38.49
	2	126.32	37.89	tridecimal 2/3-tone	13リミットの2/3音	13/12	-12.26	138.57	-3.68	41.57
	3	189.47	56.84	minor whole tone	小全音	10/9	7.07	182.40	2.12	54.72
	3	189.47	56.84	major whole tone	大全音	9/8	-14.44	203.91	-4.33	61.17
	4	252.63	75.79	tridecimal 5/4-tone	13リミットの5/4全音	15/13	4.89	247.74	1.47	74.32
	4	252.63	75.79	septimal minor third	7リミットの短3度	7/6	-14.24	266.87	-4.27	80.06
	5	315.79	94.74	minor third	短3度	6/5	0.15	315.64	0.04	94.69
	6	378.95	113.68	major third	長3度	5/4	-7.37	386.31	-2.21	115.89
	7	442.11	132.63	septimal major third, BP third	7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度	9/7	7.02	435.08	2.11	130.53
	7	442.11	132.63	tridecimal semi-diminished fourth	13リミットの準減4度	13/10	-12.11	454.21	-3.63	136.26
	8	505.26	151.58	perfect fourth	完全4度	4/3	7.22	498.04	2.17	149.41
	9	568.42	170.53	undecimal semi-augmented fourth	11リミットの準増5度	11/8	17.10	551.32	5.13	165.40
	9	568.42	170.53	septimal or Huygens' tritone, BP fourth	7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度	7/5	-14.09	582.51	-4.23	174.75
	10	631.58	189.47	Euler's tritone	レオンハルト・オイラーの3全音	10/7	14.09	617.49	4.23	185.25
	10	631.58	189.47	tridecimal diminished fifth	13リミットの減5度	13/9	-5.04	636.62	-1.51	190.99
	10	631.58	189.47	undecimal semi-diminished fifth	11リミットの準減5度	16/11	-17.10	648.68	-5.13	194.60
	11	694.74	208.42	perfect fifth	完全5度	3/2	-7.22	701.96	-2.17	210.59
	12	757.89	227.37	septimal minor sixth	7リミットの長6度	14/9	-7.02	764.92	-2.11	229.47
	13	821.05	246.32	minor sixth	短6度	8/5	7.37	813.69	2.21	244.11
	14	884.21	265.26	major sixth, BP sixth	長6度、ボーレン・ピアスの6度	5/3	-0.15	884.36	-0.04	265.31
	15	947.37	284.21	septimal major sixth	7リミットの長6度	12/7	14.24	933.13	4.27	279.94
	16	1010.53	303.16	Pythagorean minor seventh	ピタゴラスの短7度	16/9	14.44	996.09	4.33	298.83
	16	1010.53	303.16	just minor seventh, BP seventh	純正短7度、ボーレン・ピアスの7度	9/5	-7.07	1017.60	-2.12	305.28
	17	1073.68	322.11	16/3-tone	16/3全音	13/7	1.98	1071.70	0.59	321.51
	17	1073.68	322.11	classic major seventh	古典的な長7度	15/8	-14.58	1088.27	-4.38	326.48
	18	1136.84	341.05
	19	1200.00	360.00

他のテンペラメントの近似として

19平均律の最も際立った特徴は、ほとんど純正な短3度と、完全4度、そして長3度をもつことであり、それらは約7セントより狭い。ミーントーンテンペラメントとしてもよいチューニングである。19平均律はまた、magic/mugglesテンペラメントとしても適している。通常のミーントーンよりフラットされた19平均律の5度をもつ、これら両方の最適なチューニングは、より正確な近似となる31平均律である。同様に、magicテンペラメントの音程は、19平均律のふらっとした長3度を再度生成するため、41平均律とよりマッチする。41平均律はmugglesにとってよりよいチューニングであり、19平均律と同じくmagicテンペラメントである。

しかしながら、これらの19ET（magic/muggles含む）は、より少ないピッチを要求する実用的な利点を持つ。楽器を作る際、物理的な理解を簡単にする。多くの19平均律楽器がすでに作成されている。19平均律は実際、12平均律が5リミット音楽のとして扱うなら、それに次ぐ2番目のETである。そして12平均律に継ぐ5番目のゼータインテグラル平均律（zeta integral edo）である。12平均律よりは良いけれど、7リミットとしてはあまりよくない。7リミットの短3度（7/6）と7リミットの全音（8/7）の間の区別をなくすためである。19平均律はまた、素晴らしいnegri、keemun、godzilla、magic/mugglestそしてtritone/liese、そしてかなり適切なsensiをもつという利点がある。KeemunとNegriはとてもシンプルな7リミットテンペラメントのための特別な音であり、他の19平均律のMOS音階はたくさんの7リミットのテトラを提供する。7リミットのテトラであるGraham complexityは、keemunの6、negriの7、godzillaの8、meantone/flattoneの10、tritoneの11、magic/mugglesの12、sensiの13である。

ゼータインテグラルチューニングであるため、13リミットは比較的よく、事実上19平均律は順応された楽器が使われる。そのことは3度、5度、7度、13度のハーモニーは異なった量で音を上に曲げる。12平均律では言われないが、5度、7度、11度は、19平均律より遠く離れていない。しかしすでにかなりシャープされている。

拡大されたハーモニーとして

19平均律はより一層12平均律より協和するハーモニーを提供する。そしてよりよりハーモニーの代替形を提供する。William Lynchは不完全として考えられるトライアドとともに、基本的ソノリティーの様々なタイプのセブンスコードを使うことを提案する。より高い拡大は、12平均律の中ではぶつかりがちな他のノンダイアトニックコードの19平均律はよりよく曲げ、17倍音を同様に含む。

加えて、Joseph Yasserは12音supraダイアトニックスケールとしての考え方について述べており、19平均律の中で西洋音楽と同種の7音長音階を作るとしている。未来の世代のように聞こえるが、曖昧で、トナリティーをあまり感じない。言い換えれば、「トーナルグラヴィティーの明確な原則は存在するが、それはまだ、より一層トーナルの世界を複雑にする」。Yasserは音楽が結局のところ、12音supraダイアトニックスケールとともに19音がスタンダードの音律になると信じていた。Yasserのsupra-diatonicityの概念はおもしろく、とても性質の異なる音を抜いて、拡大されたトナリティーのを探求することは価値がある。

音程とリニアーテンペラメント

悪い19ETランク2テンペラメントのリスト

複雑な19ETランク2テンペラメントのリスト

平均律とは異なった19ETランク2テンペラメントのリスト

19は素数であるため、19平均律がもつすべてのランク2テンペラメントは1オクターブにつき1つのピリオドを持つ。それゆえ音程とリニアーテンペラメントが生み出す対応を作ることができる。

コンマをなだらかにする

19平均律を< 19 30 44 53 66 70|ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma	Monzo	Value (Cents)	Name 1	Name 2	Name 3
16875/16384	\| -14 3 4 >	51.12	Negri Comma	Double Augmentation Diesis
3125/3072	\| -10 -1 5 >	29.61	Small Diesis	Magic Comma
81/80	\| -4 4 -1 >	21.51	Syntonic Comma	Didymos Comma	Meantone Comma
78732/78125	\| 2 9 -7 >	13.40	Medium Semicomma	Sensipent Comma
15625/15552	\| -6 -5 6 >	8.11	Kleisma	Semicomma Majeur
1792620/1787149	\| 8 14 -13 >	5.29	Parakleisma
4830148/4822299	\| -14 -19 19 >	2.82	Enneadeca	19-Tone-Comma
1029/1000	\| -3 1 -3 3 >	49.49	Keega
525/512	\| -9 1 2 1 >	43.41	Avicennma	Avicenna's Enharmonic Diesis
49/48	\| -4 -1 0 2 >	35.70	Slendro Diesis
686/675	\| 1 -3 -2 3 >	27.99	Senga
875/864	\| -5 -3 3 1 >	21.90	Keema
245/243	\| 0 -5 1 2 >	14.19	Sensamagic
126/125	\| 1 2 -3 1 >	13.79	Septimal Semicomma	Starling Comma
225/224	\| -5 2 2 -1 >	7.71	Septimal Kleisma	Marvel Comma
19683/19600	\| -4 9 -2 -2 >	7.32	Cataharry
10976/10935	\| 5 -7 -1 3 >	6.48	Hemimage
3136/3125	\| 6 0 -5 2 >	6.08	Hemimean
703125/702464	\| -11 2 7 -3 >	1.63	Meter
4375/4374	\| -1 -7 4 1 >	0.40	Ragisma
100/99	\| 2 -2 2 0 -1 >	17.40	Ptolemisma
896/891	\| 7 -4 0 1 -1 >	9.69	Pentacircle
65536/65219	\| 16 0 0 -2 -3 >	8.39	Orgonisma
385/384	\| -7 -1 1 1 1 >	4.50	Keenanisma
540/539	\| 2 3 1 -2 -1 >	3.21	Swetisma
91/90	\| -1 -2 -1 1 0 1 >	19.13	Superleap
676/675	\| 2 -3 -2 0 0 2 >	2.56	Parizeksma