16平均律

From Xenharmonic Wiki
Jump to: navigation, search

16平均律は正確に75セントで16のパートに、狭いクロマティック半音に分割する。低い整数比の音程はあまり発生しないが、6セントシャープされた7/4と、11セントフラットされた5/4を持つ。4//1612平均律と同じ短3度の300セントをもち、また12平均律と同じ値の4つのディミニッシュセブンスを持つ。そして同じ大きさの減3和音を持つ。

16平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=16, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
16 0 0.00 0.00
1 75.00 22.50
2 150.00 45.00 tridecimal 2/3-tone 13リミットの2/3音 13/12 11.43 138.57 3.43 41.57
2 150.00 45.00 3/4-tone, undecimal neutral second 3/4全音、11リミットの中立的な2度 12/11 -0.64 150.64 -0.19 45.19
2 150.00 45.00 4/5-tone, Ptolemy's second 4/5全音、プトレマイオスの2度 11/10 -15.00 165.00 -4.50 49.50
3 225.00 67.50 septimal whole tone 7リミットの全音 8/7 -6.17 231.17 -1.85 69.35
4 300.00 90.00 tridecimal minor third 13リミットの短3度 13/11 10.79 289.21 3.24 86.76
4 300.00 90.00 minor third 短3度 6/5 -15.64 315.64 -4.69 94.69
5 375.00 112.50 tridecimal neutral third 13リミットの中立3度 16/13 15.53 359.47 4.66 107.84
5 375.00 112.50 major third 長3度 5/4 -11.31 386.31 -3.39 115.89
6 450.00 135.00 septimal major third, BP third 7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度 9/7 14.92 435.08 4.47 130.53
6 450.00 135.00 tridecimal semi-diminished fourth 13リミットの準減4度 13/10 -4.21 454.21 -1.26 136.26
7 525.00 157.50 undecimal augmented fourth 11リミットの増4度 15/11 -11.95 536.95 -3.59 161.09
8 600.00 180.00 septimal or Huygens' tritone, BP fourth 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 7/5 17.49 582.51 5.25 174.75
8 600.00 180.00 Euler's tritone レオンハルト・オイラーの3全音 10/7 -17.49 617.49 -5.25 185.25
9 675.00 202.50
10 750.00 225.00 septimal minor sixth 7リミットの長6度 14/9 -14.92 764.92 -4.47 229.47
11 825.00 247.50 major sixth 長6度 8/5 11.31 813.69 3.39 244.11
11 825.00 247.50 tridecimal neutral sixth 13リミットの中立6度 13/8 -15.53 840.53 -4.66 252.16
12 900.00 270.00 major sixth, BP sixth 長6度、ボーレン・ピアスの6度 5/3 15.64 884.36 4.69 265.31
13 975.00 292.50 harmonic seventh 第7倍音 7/4 6.17 968.83 1.85 290.65
14 1050.00 315.00 21/4-tone, undecimal neutral seventh 21/4全音、11リミットの中立7度 11/6 0.64 1049.36 0.19 314.81
15 1125.00 337.50
16 1200.00 360.00

イメージ

16edo wheel 01.png

16音階オクターブ理論

16音階は1/4オクターブをピリオドとして、ディミニッシュドテンペラメントをサポートする。したがってジェネレーターサイズはすべて75セントで、理想より小さい。675セントの3/2はとてもフラットされており、Mavilaテンペラメントをサポートする。メジャーもマイナーもマッピングされたMavilaテンペラメントは、真逆のテンペラメントである。Mavilaテンペラメントは伝統的な300セントの短3度を均等に分割し、150セントの「3/4全音」をもつため人気がある。

16平均律はまた50/49をテンパーアウトする7リミットテンペラメントのno-threesチューニングである(No-threes map: [<2 0 1 1|, <0 0 1 1|])。またジェネレーターとして長3度フラットをもっており、516で表される。これにより71013のサイズをもつMOS音階となり、また本ページ下部の「マジック音階類」で表される。

Easley Blackwoodが以下を書いた:

16音:このチューニングは、4つの音からなるディミニッシュセブンスのコンビネーションとみなすのが最もよいと考えられる。なぜなら12平均の音とは、3つのディミニッシュセブンスのコンビネーションと見なすことができるので、2つのチューニングに要素が共通にあることは明らかなためである。2つのチューニングの音色および(work)機能の最も明白な差は、16平均律のトライアドである。認識可能ではあるけど、それはカデンツの終始音としてのハーモニーとして、あまりに不協和過ぎる。キーは、まだオルタードサブドミナントとドミナントハーモニーを継承し成り立っており、エチュードは主にこの特性にもとづいている。使用されている基本的な協和音の響きは、マイナーセブンスが加えられた短3和音である。

もう1つの興味深いアプローチは2つの8平均律(狭い12/11中立2度をもつ)を折り合わせたものとして解釈することである。16平均律は2つの長7度をもつ。1316の、周波数比7/4に近い、6.174セントシャープされたハーモニックセブンスと、11リミットの11/6または中立7度である。11/6は長7度として16番目のMavilaにマッピングされる。もし19倍音の近似(19/16297.5セント)として300セントの短3度を取るなら、ハーモニックセブンス(7/4)の近似であるもう1つの倍音を加え16:19:28のトライアドを形作る。

28倍音と19倍音の間にある音程、28:19671.3セントと計算できるが、それは3.7セント16平均律の「狭い5度」から離れている。このもう一つのコードボイシングは、外側の音程として19:14528.7セント。16平均律では525.0セント)の特徴をもつ14:16:19である。おそらくより協和するオープンボイシングは7:16:19だろう。

16音階記譜法

16平均律記譜法は簡単に、キー、名前、それぞれの記譜法に関してゴールドスミスの円を利用できる。6線譜のための名前はWilsonBetaEpsilonAからGに加えたものに切り替えることができる。イタリアのArmodue16平均律のために4線譜を使っている。

16平均律のダイアトニックスケールは、25セント上がったスーパーフォース(superfourth)と、25セント引かれた5度の近似が結合しているため、不協和であり、「チラチラ光る」。音階は4ステップサイズを要求する16平均律のハーモニックマイナースケールに似ている。

Mavila[7]のようなMOS音階(または「逆ダイアトニック」(Inverse/Anti-Diatonic)と呼ばれるダイアトニックのステップサイズを逆にしたもの。ヘプタトニックバージョンの場合、LLsLLLsからssLsssLにする)は、伝統的なダイアトニックの代わりとして機能する。16平均律の6線譜、Mavila-[9]譜はまさにこれであり、9つの一般的な白鍵にアレンジされた上で(222122221)配置することができる。23平均律キーボードもまたMavila-[9]6線譜で機能し、16平均律の1/3音として記譜できる。もし9MOS音階(Nonatonic)を16平均律に適合させるなら、そのときたぶんオクターブを2/1とみなすことに頷ける。この時デカーブ(Decave)と呼ぶのかもしれない(7音音階でオクターブ(8音)になるのだから)。

Paul Erlichが以下を書いた

 慣習的な12平均律ダイアトニックやペンタトニック(ミーントーン)スケールのようなものは、フォッカー(Fokker)の周期的ブロックからうまれた、ユニゾンベクトルのテンパーアウトから上げられている。16平均律だけ、ユニゾンベクトルは81:80の代わりに135:128である。

ランク2テンペラメント

悪い16ETランク2テンペラメントのリスト

Periods

per octave

Generator Temperaments
1 1\16 Valentine, slurpee
1 3\16 Gorgo
1 5\16 Messed-up magic/muggles
1 7\16 Mavila/armodue
2 1\16 Bipelog
2 3\16 Lemba, astrology
4 1\16 Diminished/demolished
8 1\16

Mavila

[5]: 5 2 5 2 2
[7]: 3 2 2 3 2 2 2
[9]: 1 2 2 2 1 2 2 2 2

Diminished

[8]: 1 3 1 3 1 3 1 3

[12]: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

Magic

[7]: 1 4 1 4 1 4 1

[10]: 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1

[13]: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

Cynder/Gorgo

[5]: 3 3 4 3 3

[6]: 3 3 1 3 3 3

[11]: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Lemba

[6]: 3 2 3 3 2 3

[10]: 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

Igliashon Jonesが以下を書いた

16平均律の問題は、長3度と4度の間、同様に4度と5度(例えば12//11の近く)に距離があるという事実である。これは135/12816/159/8の間の差)をテンパーアウトすることを意味する。

16平均律におけるMavila/Armodueの調和

16平均律が全く3/2に近くないため、3和音の響きは3度重ねを基本的には使用しない。しかしながら、3和音の響きは3度というよりむしろ7度にある。例えば16平均律では、通常3/2を使うところ、代わりに7/4で使えるほど十分に近い。3和音はもう1つのセブンスを加えることで構築される。非対称性のセブンス3和音のため、2つの可能性を生み出す。小さな一つ目は、0-975-1050のハード(hard)と呼ばれるものであり、もう一つの大きい方は0-1050-975のソフト(soft)と呼ばれるものである。2つの対照的な3和音0-975-9750-1050-1050はまた、明らかにコードの可能性がある。それらの特徴はメタリックトライアド(Metallic triads)と名付けられた金属的な音がすることである。

MOSはメタリックハーモニーをサポートする

Mavila[7]は音程14の上に2つのハード3和音をもつ。また、音程26の上に2つのソフト3和音を持つ。他の3つのコードは幅広い対照的な0-1050-10503和音である。Mavila[9]Wilson音階が新たに2つのハード3和音を作成する一方、新たに2つのソフト3和音を生成する。

Metallic Harmonyも参照のこと。

コンマをなだらかにする

16平均律を< 16 25 37 45 55 59 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma Monzo Value (Cents) Name 1 Name 2 Name 3
135/128 | -7 3 1 > 92.18 Major Chroma Major Limma Pelogic Comma
648/625 | 3 4 -4 > 62.57 Major Diesis Diminished Comma
3125/3072 | -10 -1 5 > 29.61 Small Diesis Magic Comma
1212717/1210381 | 23 6 -14 > 3.34 Vishnuzma Semisuper
36/35 | 2 2 -1 -1 > 48.77 Septimal Quarter Tone
525/512 | -9 1 2 1 > 43.41 Avicennma Avicenna's Enharmonic Diesis
50/49 | 1 0 2 -2 > 34.98 Tritonic Diesis Jubilisma
64827/64000 | -9 3 -3 4 > 22.23 Squalentine
3125/3087 | 0 -2 5 -3 > 21.18 Gariboh
126/125 | 1 2 -3 1 > 13.79 Septimal Semicomma Starling Comma
1029/1024 | -10 1 0 3 > 8.43 Gamelisma
6144/6125 | 11 1 -3 -2 > 5.36 Porwell
121/120 | -3 -1 -1 0 2 > 14.37 Biyatisma
176/175 | 4 0 -2 -1 1 > 9.86 Valinorsma
385/384 | -7 -1 1 1 1 > 4.50 Keenanisma
441/440 | -3 2 -1 2 -1 > 3.93 Werckisma
3025/3024 | -4 -3 2 -1 2 > 0.57 Lehmerisma

Armodue理論(4線譜)

Armodue16音(esadekaphonic)システムのためのイタリアページ。作曲法も含んでいる。翻訳したものはここを参照。

/文献

Sword, Ronald. "Thesaurus of Melodic Patterns and Intervals for 16-Tones" IAAA Press, USA. First Ed: August, 2011

Sword, Ronald. "Hexadecaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: Feb, 2010. (superfourth tuning)

Sword, Ronald. "Esadekaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: April, 2009. (semi-diminished fourth tuning)

作品

Prenestyna Highway by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Enantiodromia (album) by Last Sacrament

Tribute to Armodue by Aeterna

Etude in 16-tone equal tuning play (organ version) by Herman Miller

16-tone steel string acoustic diddle by Ron Sword

Armodue78 by Jean-Pierre Poulin

Palestrina Morta, fantasia quasi una sonata by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Comets Over Flatland 5 by Randy Winchester

Malathion by Chris Vaisvil

Being of Vesta by Chris Vaisvil

Thin Ice by Chris Vaisvil ; information on the composition

Mavila Jazz Groove by William Lynch

Cold, Dark Night for a Dance by William Lynch