15平均律

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15 japanese.png

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音楽において、15 equal temperament15TET15EDO、または15ETと呼ばれる。15平均律はオクターブを15の均等なステップに分割し、テンパーされた音階である。各ステップは周波数比2^(1/15)、または80セントである。5平均律が3つの音階、または3平均律が5つの音階と解釈することが可能である。

15平均律は7リミットにもとづく音程に近いいくつかの音程を持つため、7リミットテンペラメントとして見なすことが可能である。しかしまた、明らかに11リミット音程に近い音程もいくつか含んでいる。ゆえに、11リミットテンペラメントとして述べることが合理的である。しかし12平均律の3度と9度の響きからは離れているため、15平均律に近いJIを探すことは、要求されているそれらのコードを避けることがベストだと考えられる。もしくは、注意深く扱う必要がある。15平均律はまた、明確なシントニックコンマを持つ5アドリミットインターバル(3/25/46/5)の表現と、異なっていると認識できる最も小さい平均律である。このことは注目に値する。

15平均律のシステムにおいて、メジャーサードは21200cent)を完全に分割できず、そして一般の3全音(600セント)の欠如と結びつく。このチューニングは、はじめ方向感覚を失わせる。しかしながら、ギターは12音システムギターと異なり、Eからe、または6弦から1弦のように対照的にチューニングできる。カーブを学ぶことはとても管理しやすい。すべてのコードはどこでも同じ転調のようにみえ、マイナーアルペジオは垂直に積み重ねられ、とても簡単に演奏できる。15音はたぶん誰もがより優れたハーモニーとゼンハーモニー、音数の管理のしやすさ、5平均律の重なりによる音の特徴に興味を持つ、有望な駆け出しとなる。

15平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=15, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
15 0 0.00 0.00
1 80.00 24.00
2 160.00 48.00 3/4-tone, undecimal neutral second 3/4全音、11リミットの中立的な2度 12/11 9.36 150.64 2.81 45.19
2 160.00 48.00 4/5-tone, Ptolemy's second 4/5全音、プトレマイオスの2度 11/10 -5.00 165.00 -1.50 49.50
3 240.00 72.00 septimal whole tone 7リミットの全音 8/7 8.83 231.17 2.65 69.35
3 240.00 72.00 tridecimal 5/4-tone 13リミットの5/4全音 15/13 -7.74 247.74 -2.32 74.32
4 320.00 96.00 minor third 短3度 6/5 4.36 315.64 1.31 94.69
5 400.00 120.00 major third 長3度 5/4 13.69 386.31 4.11 115.89
5 400.00 120.00 undecimal diminished fourth or major third 11リミットの減4度または長3度 14/11 -17.51 417.51 -5.25 125.25
6 480.00 144.00 perfect fourth 完全4度 4/3 -18.04 498.04 -5.41 149.41
7 560.00 168.00 undecimal semi-augmented fourth 11リミットの準増5度 11/8 8.68 551.32 2.60 165.40
8 640.00 192.00 tridecimal diminished fifth 13リミットの減5度 13/9 3.38 636.62 1.01 190.99
8 640.00 192.00 undecimal semi-diminished fifth 11リミットの準減5度 16/11 -8.68 648.68 -2.60 194.60
9 720.00 216.00 perfect fifth 完全5度 3/2 18.04 701.96 5.41 210.59
10 800.00 240.00 undecimal augmented fifth 11リミットの増5度 11/7 17.51 782.49 5.25 234.75
10 800.00 240.00 minor sixth 短6度 8/5 -13.69 813.69 -4.11 244.11
11 880.00 264.00 major sixth, BP sixth 長6度、ボーレン・ピアスの6度 5/3 -4.36 884.36 -1.31 265.31
12 960.00 288.00 harmonic seventh 協和する7度 7/4 -8.83 968.83 -2.65 290.65
13 1040.00 312.00 21/4-tone, undecimal neutral seventh 21/4全音、11リミットの中立7度 11/6 -9.36 1049.36 -2.81 314.81
14 1120.00 336.00
15 1200.00 360.00

イメージ

15edo wheel.png15edo wheel 02.png15edo wheel 03.png

12平均律の音程と近似値

15平均律は6/55/3といった周波数比5の中で、12平均律以上にいくつかの小さな改善点を提案する。そしてよりよい7倍音11倍音の響きの近似を持つ。しかし3倍音からは離れる。この近似から抜け出すための特別な方法を行うと、バグと同様にたくさんの特徴をもつ、5L5sMOS音階を構築する。5L5sMOS音階の各音は7リミットオトーナルとウトーナルテトラのためのルートとして役立つ。同様に5リミットのメジャーまたはマイナーセブンスコードとしても役立つ。ウトーナルとはいくつかの周波数の最大公倍数のリミットを差し、オトーナルとは最大値をさす。たとえば10:12:15のコードは5リミットのウトーナリティであり、15リミットのオトーナリティである(otonality and utonality)。5L5sMOS音階はBlackwood temperamentとして知らており、Easley Blackwood, Jrから名づけられている。彼は初めてこれを文章で残した。この文章はまた、Igliashon Jonesにより、「Five is Not an Odd Number」で広範囲にわたり書かれている。15平均律の深いハーモニーの扱い方は、基本的にこのテンペラメントと711リミットの拡張にもとづく。Harmony in 15edo Blacksmith[10]もまた参照のこと。

記譜法

15平均律の記譜法にはさまざまな方法がある。そして記譜法の選択は、作曲家が重点を置く点が、ランク2テンペラメントなのか、MOS音階なのかに大きく依存している。

Blackwoodの記譜法

10進数バージョン:1から0010という意味)という言葉を使い、5平均律の3つのチェーンの1つは奇数によってあらわされる。偶数によって2番目が表される。そして3番目は臨時記号のついた数で表される。3番目の臨時記号は奇数にシャープをつけたものでも、偶数にフラットをつけたものでも構わない。

ギターバージョン:15平均律ギターにおいて、5平均律からうまれる「完全4度」のため、すべての開放弦は完全4度でチューニングすることが可能である。そして間隔は正確に2オクターブのままである。もしBから4度圏を始めるなら(B-E-A-D-G-(B))、その時開放弦は通常(E-A-D-G-B-E)として記録される。しかしながら、4度圏は5回で閉じてしまう。15平均律の残り10音に続かないのである。臨時記号を用いて5平均律の2つのチェーンを記録する必要がある。この記譜法は5平均律ではない、臨時記号を使う5線譜にもとづくものとしても、特別なものではない。しかしながらギターにおける15平均律の直感的アプローチが反映されているため、便利である。なぜなら5平均律は、フレットボードをナビゲートするのに便利な3リミットのランドマーク(完全4度や完全5度)のセットという利便性を提供するためである。コードチャートを書くのに特に便利で、そこでは独創的な臨時記号を表す記号は無視できる。

ポーキュパイン・ノーテーション

MOS音階の一種。porcupine notationを参照のこと。

ランク2テンペラメント

悪い15ETランク2テンペラメントのリスト

平均律とは異なった15ETランク2テンペラメントのリスト

Periods

per octave

Generator Temperaments
1 1\15 Nautilus/valentine
1 2\15 Porcupine/opossum
1 4\15 Hanson/keemun/orgone
1 7\15 Progress
3 1\15 Augmented/augene
3 2\15 Triforce
5 1\15 Blackwood/blacksmith

コンマをなだらかにする

15平均律を< 15 24 35 42 52 56 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma Monzo Value (Cents) Name 1 Name 2 Name 3
256/243 | 8 -5 > 90.22 Limma Pythagorean Minor 2nd
250/243 | 1 -5 3 > 49.17 Maximal Diesis Porcupine Comma
128/125 | 7 0 -3 > 41.06 Diesis Augmented Comma
15625/15552 | -6 -5 6 > 8.11 Kleisma Semicomma Majeur
1029/1000 | -3 1 -3 3 > 49.49 Keega
49/48 | -4 -1 0 2 > 35.70 Slendro Diesis
64/63 | 6 -2 0 -1 > 27.26 Septimal Comma Archytas' Comma Leipziger Komma
64827/64000 | -9 3 -3 4 > 22.23 Squalentine
875/864 | -5 -3 3 1 > 21.90 Keema
126/125 | 1 2 -3 1 > 13.79 Septimal Semicomma Starling Comma
4000/3969 | 5 -4 3 -2 > 13.47 Octagar
1029/1024 | -10 1 0 3 > 8.43 Gamelisma
6144/6125 | 11 1 -3 -2 > 5.36 Porwell
250047/250000 | -4 6 -6 3 > 0.33 Landscape Comma
100/99 | 2 -2 2 0 -1 > 17.40 Ptolemisma
121/120 | -3 -1 -1 0 2 > 14.37 Biyatisma
176/175 | 4 0 -2 -1 1 > 9.86 Valinorsma
65536/65219 | 16 0 0 -2 -3 > 8.39 Orgonisma
385/384 | -7 -1 1 1 1 > 4.50 Keenanisma
441/440 | -3 2 -1 2 -1 > 3.93 Werckisma
4000/3993 | 5 -1 3 0 -3 > 3.03 Wizardharry
3025/3024 | -4 -3 2 -1 2 > 0.57 Lehmerisma
91/90 | -1 -2 -1 1 0 1 > 19.13 Superleap
676/675 | 2 -3 -2 0 0 2 > 2.56 Parizeksma

理論

The 15-Tone Scale System by Ivor Darreg Permalink

The Pentadecaphonic System

15-EDO Tutorial by Brent Carson Permalink

実践理論と本

Sword, Ronald. "Pendecaphonic Scales for Guitar" IAAA Press, UK-USA. First Ed: June 2009. 15平均律において知られている、すべての音階とテンペラメントファミリーのレポジトリ。300以上の例とコード進行がおさめられている。