13平均律

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最も2.5.9.11.13.17.19.21に近似する音律

13平均律は周波数比2のオクターブを13個の均等なパートに分割するシステムを参照する。それは6番目の素数平均律であり、11平均律の後であり17平均律の前の平均律である。600セントより小さいステップ(6ステップ、553.84セント)は、最も近い12平均律の近似よりも狭い。そして600セントより大きいもの(7ステップ、646.15セント)は幅広い。これは巧妙な耳のトリックを起こす。12平均律から連想されるメロディーは、慣れていない場所へ素早くたどり着く。

21アドリミットJIのテンペラメントとしてみなすと、13平均律は素晴らしい11番目と21番目の倍音に近似する。そして59131719倍音にもそれなりに近づくことができる。一番の目的は、37、15倍音の近似と認識するものを与えないことである。3倍音の響きとそれなりに近い響きが発生しないということは、13平均律が慣習的な音楽に適していないということを示す。しかし111321の周波数とはとても良い近似値であり、とてもゼンハーモニックチューニングを作り出す。これらの独自性は12平均律の表現から離れはしないけれども。評価は不協和であるものの、それは2.5.9.11.13.17.19.21サブグループであり、素晴らしいランク1のテンペラメントである。そして小さいサイズのための、複雑に一致する多くのレパートリーを持つ。

13平均律の音程と近似値

The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=13, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
13 0 0.00 0.00
1 92.31 27.69
2 184.62 55.38 minor whole tone 小全音 10/9 2.21 182.40 0.66 54.72
3 276.92 83.08 septimal minor third 7リミットの短3度 7/6 10.05 266.87 3.02 80.06
3 276.92 83.08 tridecimal minor third 13リミットの短3度 13/11 -12.29 289.21 -3.69 86.76
4 369.23 110.77 tridecimal neutral third 13リミットの中立3度 16/13 9.76 359.47 2.93 107.84
4 369.23 110.77 major third 長3度 5/4 -17.08 386.31 -5.12 115.89
5 461.54 138.46 tridecimal semi-diminished fourth 13リミットの準減4度 13/10 7.32 454.21 2.20 136.26
6 553.85 166.15 undecimal augmented fourth 11リミットの増4度 15/11 16.90 536.95 5.07 161.09
6 553.85 166.15 undecimal semi-augmented fourth 11リミットの準増5度 11/8 2.53 551.32 0.76 165.40
7 646.15 193.85 tridecimal diminished fifth 13リミットの減5度 13/9 9.54 636.62 2.86 190.99
7 646.15 193.85 undecimal semi-diminished fifth 11リミットの準減5度 16/11 -2.53 648.68 -0.76 194.60
8 738.46 221.54
9 830.77 249.23 minor sixth 短6度 8/5 17.08 813.69 5.12 244.11
9 830.77 249.23 tridecimal neutral sixth 13リミットの中立6度 13/8 -9.76 840.53 -2.93 252.16
10 923.08 276.92 septimal major sixth 7リミットの長6度 12/7 -10.05 933.13 -3.02 279.94
11 1015.38 304.62 just minor seventh, BP seventh 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 9/5 -2.21 1017.60 -0.66 305.28
12 1107.69 332.31
13 1200.00 360.00

13平均律の音階

13という素数の特徴によって、13平均律はいくつかのゼンハーモニックMOS音階(moment of symmetry scales)を形作る。下のダイアグラムはMOS音階の5音「ファミリー」を示す。これらは21313平均律の2音程)、3134135136//13のチェーンによって作成される。

13edo_horograms.jpg

13edo horograms.pdf

Ery Wilsonが先駆者となったホラグラムをもとに、Andrew Heathwaiteが作成したダイアグラム。

13平均律のもう一つのきちんとした様相として、余分な半音を加えるか、現在の半音を全音に変えることで、どんな12平均律の音階も13平均律の音階に「変えられる」ということである。このため、13平均律のメロディーはとても不思議で、類似した方法でフレーズを始めると、即座に予想外の何かに導かれる。

13平均律のハーモニー

一般的な考えとは逆に、13平均律で協和音は可能である。しかし12平均律やピタゴラス、ミーントーンなどをベースとしたチューニングの使い方とは徹底的に異なったアプローチを要求する。一般的な12平均律の長3和音や短3和音の近似値を13平均律の中で試みるとき、ゴールを0-3-70-4-70-3-80-4-8とするなら、13平均律では荒くなるので通常断念せざるを得ない。13平均律で通常最も協和するハーモニーは、「3度の積み重ね」ではない。13平均律の最も強い不協和は、オクターブのミドルトーン、つまり音程が678ステップに近い時である。代わりに、全音の積み重ね、または全音と短3度のミックスの積み重ねで、しばしば良い結果が生み出される。たとえば、13平均律をハーモニック2.5.9.11.13のテンペラメントサブグループとしてみなす方法である。これは実際見事に演じる。そして4:5:9:11:13に近い0-4-15-19-22のコードはとても人を納得させる。より大きなサブグループは、2*13 subgroup2.9.5.21.11.13である。1326ETのようなコンマとチューニングをもつ。

この場合、私たちは13平均律の長9度が12平均律の完全5度や他のミーントーン平均律と似ていると想定することができる。これは11/85/4などが続く13平均律において、長2度や長9度が2/1に次いで最も協和することを意味する。4:5:9コードはそれゆえ基本的な13平均律のトライアドであると考えることができる。

2.9.5.11.13サブグループは、45/4465/64,そして81/80コンマを持ち、POTEジェネレーター185.728セントとともにリニアーテンペラメントを導く。それは非常に2//13に近い。これをジェネレーターとして使うと、そして7音(6L1s)の2つの完全なペンタを利用する。同様に2つの4:5:9:11テトラと、1つの4:5:9:13テトラも利用できる。これらのトライアドとテトラは、13平均律の中でおそらくもっとも協和するベースソノリティーであり、長3和音や短3和音と似た手法を演じるという想定ができる。しかしながら、ほかのOrwellコードのようなソノリティーも同時に感じられる。

のアプローチは特定の作曲家と理論家によって探求されており、大まかなものは下に示される。

Play the 4:5:9 chord:

Play the 4:5:9:11 chord:

Play the 4:5:9:13 chord:

Play the 4:5:9:21 chord:

13平均律の記譜法と作曲のアプローチ

13平均律は多くの作曲家や理論家から興味を持たれており、何人かは記譜法と作曲に関するアプローチの提案を行っている。

コンマをなだらかにする

13平均律を<13 21 30 36 45 48|ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma Monzo Value (Cents) Name 1 Name 2 Name 3
2109375/2097152 | -21 3 7 > 10.06 Semicomma Fokker Comma
1029/1000 | -3 1 -3 3 > 49.49 Keega
525/512 | -9 1 2 1 > 43.41 Avicennma Avicenna's Enharmonic Diesis
64/63 | 6 -2 0 -1 > 27.26 Septimal Comma Archytas' Comma Leipziger Komma
64827/64000 | -9 3 -3 4 > 22.23 Squalentine
3125/3087 | 0 -2 5 -3 > 21.18 Gariboh
3136/3125 | 6 0 -5 2 > 6.08 Hemimean
121/120 | -3 -1 -1 0 2 > 14.37 Biyatisma
441/440 | -3 2 -1 2 -1 > 3.93 Werckisma