12平均律

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12平均律はおそらく12ETとしてよく知られている。明らかにテンペラメントである。今日、世界でも有力なチューニングである。5リミットハーモニーの響きを強く主張する、最小の均等分割であるため、この地位を獲得した。1/12ピタゴラスコンマ(およそ1/11のシントニックコンマ)ミーントーンのように、それはミーントーンを代表する。

オクターブが縮小または拡大されていない限り、オクターブを100セントで均等に分割し、12個のパートを作る。12平均律は2セントフラットされたとてもよい5度を持っている。長3度は13+2/3セントシャープされており、いくつかの音楽スタイルで十分に機能し、それ以外の音楽スタイルでは機能しない。そして短3度は15+2/3セントフラットされる。ヨーロッパのチューニングがだんだんと12ETに向かって近づいて行ったのはたぶん偶然ではない。12ETの欠陥はあまり目立たずあらわれるように、音楽スタイルが変わったのである。けれども実際のパフォーマンスではしばしば、パフォーマーによるチューニングの操作により、12ETの欠陥は減少されたことを心にとどめておくべきだ。

不完全な7度(7/4968.83cent)は、31セントよりも大きくシャープされた音程であることを「示す」。そしてテトラコードの心地良さから明確に突出している。そのようなテトラコードはしばしばドミナントセブンスコードの機能で使われた。5リミットJIバージョンはおそらく1/1 - 5/4 - 3/2 - 16/9であり、12ETははっきりと7リミットミーントーンのことを、<12 19 28 34|ヴァル(val)を経由してサポートしている。この7リミットの範囲における信用性は、疑いようもなく陳腐なものとなる。17と、そしてより19においては信用できるが、1113で繰り返し信用できるかといえば全くそうではない。関連するチューニングの正確性はとても高いにもかかわらず、12平均律は4番目のゼータインテグラル平均律である(zeta integral edo)。

次のコンマがテンパーアウトされる。3^12/2^19のピタゴラスコンマ、81/80のディディモスコンマ、128/125のディエシス、2048/2025のディアシスマ、64/63のアルキュタスコンマ、36/357リミットの4分音、50/49のジュビリスマ、126/1257リミットのセミコンマ、225/2247リミットのクレイスマ。特定の手法によりそれぞれは12ETの構造に影響を与える。そして問題のコンマを共有するチューニングシステムは、正確にそれらの方法で12ETに近づく。

ランク2テンペラメント

悪い12ETランク2テンペラメントのリスト

複雑な12ETランク2テンペラメントのリスト

平均律とは異なった12fランク2テンペラメントのリスト

Periods

per octave

Generator Temperaments
1 1\12 Ripple
1 5\12 Meantone/dominant
2 1\12 Srutal/pajara/injera
3 1\12 Augmented
4 1\12 Diminished
6 1\12 Hexe

12平均律の音程と近似値

The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=12, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
12 0 0.00 0.00
1 100.00 30.00 minor diatonic semitone ダイアトニックの短2度 16/15 -11.73 111.73 -3.52 33.52
1 100.00 30.00 major diatonic semitone ダイアトニックの長2度 15/14 -19.44 119.44 -5.83 35.83
2 200.00 60.00 minor whole tone 小全音 10/9 17.60 182.40 5.28 54.72
2 200.00 60.00 major whole tone 大全音 9/8 -3.91 203.91 -1.17 61.17
3 300.00 90.00 tridecimal minor third 13リミットの短3度 13/11 10.79 289.21 3.24 86.76
3 300.00 90.00 minor third 短3度 6/5 -15.64 315.64 -4.69 94.69
4 400.00 120.00 major third 長3度 5/4 13.69 386.31 4.11 115.89
4 400.00 120.00 undecimal diminished fourth or major third 11リミットの減4度または長3度 14/11 -17.51 417.51 -5.25 125.25
5 500.00 150.00 perfect fourth 完全4度 4/3 1.96 498.04 0.59 149.41
6 600.00 180.00 septimal or Huygens' tritone, BP fourth 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 7/5 17.49 582.51 5.25 174.75
6 600.00 180.00 Euler's tritone レオンハルト・オイラーの3全音 10/7 -17.49 617.49 -5.25 185.25
7 700.00 210.00 perfect fifth 完全5度 3/2 -1.96 701.96 -0.59 210.59
8 800.00 240.00 undecimal augmented fifth 11リミットの増5度 11/7 17.51 782.49 5.25 234.75
8 800.00 240.00 minor sixth 短6度 8/5 -13.69 813.69 -4.11 244.11
9 900.00 270.00 major sixth, BP sixth 長6度、ボーレン・ピアスの6度 5/3 15.64 884.36 4.69 265.31
10 1000.00 300.00 Pythagorean minor seventh ピタゴラスの短7度 16/9 3.91 996.09 1.17 298.83
10 1000.00 300.00 just minor seventh, BP seventh 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 9/5 -17.60 1017.60 -5.28 305.28
11 1100.00 330.00 classic major seventh 古典的な長7度 15/8 11.73 1088.27 3.52 326.48
12 1200.00 360.00

コンマをなだらかにする

12平均律を< 12 19 28 34 42 44 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma Monzo Value (Cents) Name 1 Name 2 Name 3
531441/524288 | -19 12 > 23.46 Pythagorean Comma
648/625 | 3 4 -4 > 62.57 Major Diesis Diminished Comma
128/125 | 7 0 -3 > 41.06 Diesis Augmented Comma
81/80 | -4 4 -1 > 21.51 Syntonic Comma Didymos Comma Meantone Comma
2048/2025 | 11 -4 -2 > 19.55 Diaschisma
5201701/5149091 | 26 -12 -3 > 17.60 Misty Comma
32805/32768 | -15 8 1 > 1.95 Schisma
| 161 -84 -12 > 0.02 Atom
36/35 | 2 2 -1 -1 > 48.77 Septimal Quarter Tone
50/49 | 1 0 2 -2 > 34.98 Tritonic Diesis Jubilisma
64/63 | 6 -2 0 -1 > 27.26 Septimal Comma Archytas' Comma Leipziger Komma
3125/3087 | 0 -2 5 -3 > 21.18 Gariboh
126/125 | 1 2 -3 1 > 13.79 Septimal Semicomma Starling Comma
4000/3969 | 5 -4 3 -2 > 13.47 Octagar
321489/320000 | -9 8 -4 2 > 8.04 Varunisma
225/224 | -5 2 2 -1 > 7.71 Septimal Kleisma Marvel Comma
3136/3125 | 6 0 -5 2 > 6.08 Hemimean
5120/5103 | 10 -6 1 -1 > 5.76 Hemifamity
33554432/33480783 | 25 -14 0 -1 > 3.80 Garischisma
703125/702464 | -11 2 7 -3 > 1.63 Meter
250047/250000 | -4 6 -6 3 > 0.33 Landscape Comma
99/98 | -1 2 0 -2 1 > 17.58 Mothwellsma
100/99 | 2 -2 2 0 -1 > 17.40 Ptolemisma
176/175 | 4 0 -2 -1 1 > 9.86 Valinorsma
896/891 | 7 -4 0 1 -1 > 9.69 Pentacircle
441/440 | -3 2 -1 2 -1 > 3.93 Werckisma
9801/9800 | -3 4 -2 -2 2 > 0.18 Kalisma Gauss' Comma
91/90 | -1 -2 -1 1 0 1 > 19.13 Superleap