User:Triethylamine/draft: モンゾと音程空間 - Revision history

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定義

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	このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。		このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。
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	==定義==		==定義==
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	==脚注==		==脚注==
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Triethylamine at 14:51, 22 September 2023

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	このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。		このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。

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	==脚注==		==脚注==
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Triethylamine at 14:20, 11 September 2023

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	This is a draft of JP translation of [[Monzos and interval space]].		This is a draft of JP translation of [[Monzos and interval space]].

			完成版→[[モンゾと音程空間]]

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	このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。		このページでは'''モンゾ'''の正式な数学的定義を与え、また'''音程空間'''との関連も示す。例の付いたより簡単な解説は、[[モンゾ]]を参照。
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	==定義==		==定義==

	''p''-リミットの有理数''q''は定義より''p''以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。		''p''-リミットの有理数 ''q'' は定義より ''p'' 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

	<math>q = 2^{e_2} 3^{e_3} 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math>		<math>q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math>

	ただし指数は整数である。		ただし指数は整数である。
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	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|Joe Monzo(en)]]の情熱的な支援にちなんでいる。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|Joe Monzo<sup>(en)</sup>]]の情熱的な支援にちなんでいる。

	モンゾの[[Tenney height\|~~Tenney高さ~~(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|Tenney 高さ<sup>(en)</sup>]]は以下のように与えられる。

	<math>\\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>		<math>\\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>

	これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間<math>I</math>に埋め込むことができる。ただし<math>\pi(x)</math>は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間<math>I</math>を張る<math>I</math>の離散部分群である。		これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

	素数''k''に対応する座標''e''<sub>''k''</sub>~~にlog~~<sub>2</sub> ''k''を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ~~Lp空間~~#有限次元における p-ノルム]を参照)~~。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の~~''L''<sup>1</sup>-~~ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。~~		素数 ''k'' に対応する座標 ''e<sub>k</sub>'' に log<sub>2</sub> ''k'' を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - ''L<sup>p</sup>''空間#有限次元における ''p''-ノルム]を参照)。このベクトル空間は Tenney 音程空間であり、この通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標が Tenney 空間の標準基底を構成する。
	ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)~~に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、~~{{monzo\| 1 0 }}~~は周波数比2を表すが、~~{{monzo \| 0 log<sub>3</sub> 2}}~~も同様に2を表す。~~		ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一対一に対応するが、Tenney 空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }} は周波数比 2 を表すが、{{monzo \| 0 log<sub>3</sub> 2}} も同様に 2 を表す。

	ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく''L''<sup>1</sup>-~~ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに~~[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間(en)]]~~が得られる。明示的に、モンゾ~~{{monzo \| e<sub>2</sub> e<sub>3</sub> … e<sub>p</sub>}}~~をとったとき、そのTenney~~-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。		ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく ''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney 音程空間の代わりに [[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間<sup>(en)</sup>]]が得られる。明示的にモンゾ {{monzo \| ''e''<sub>2</sub> ''e''<sub>3</sub> … ''e<sub>p</sub>''}} をとったとき、その Tenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

	<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>		<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>

	そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。		そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または [https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。

	==別の定義==		==別の定義==

	''q''を有理数とすると、以下に示す定義によって''q''をモンゾ形式に書き換えることができる。		''q'' を有理数とすると、以下に示す定義によって ''q'' をモンゾ形式に書き換えることができる。

	<math>q = \|v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math>		<math>q = \|v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math>

	~~このモンゾのテニー高さは以下のように与えられる。~~		このモンゾの Tenney 高さは以下のように与えられる。

	<math>\\| \|v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \\| = \|v_2 (q)\| + \|v_3 (q)\| \log_2 3 + \dotsb + \|v_p (q)\| \log_2 p</math>		<math>\\| \|v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \\| = \|v_2 (q)\| + \|v_3 (q)\| \log_2 3 + \dotsb + \|v_p (q)\| \log_2 p</math>

	ただし、<math>v_p (q)</math>は''q''の[https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p''進賦値]である。		ただし、<math>v_p (q)</math> は ''q'' の [https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p'' 進賦値]である。

	==例==		==例==

	5-リミットの音程 16/15 は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは{{monzo\|4 -1 -1}}となる。重み付き座標の場合、{{monzo\|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}}となり、近似値では{{monzo\|4 -1.585 -2.322}}となる。		5-リミットの音程 16/15 は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは {{monzo\|4 -1 -1}} となる。重み付き座標の場合、{{monzo\|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}} となり、近似値では {{monzo\|4 -1.585 -2.322}} となる。

	したがってTEノルムは		したがってTEノルムは

	<math>\sqrt{(4^2 + \log_2(3)^2 + \log_2(5)^2)} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math>		<math>\sqrt{4^2 + (\log_2 3)^2 + (\log_2 5)^2} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math>

	となる。		となる。
Line 57:		Line 60:
	==関連項目==		==関連項目==

	*[[Fractional monzo\|分数モンゾ(en)]]		*[[Fractional monzo\|分数モンゾ<sup>(en)</sup>]]
	*[[Vals and tuning space\|ヴァルと調律空間(en)]]		*[[Vals and tuning space\|ヴァルと調律空間<sup>(en)</sup>]]

	==脚注==		==脚注==

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Line 6:		Line 6:
	==定義==		==定義==

	~~<math>~~p~~</math>~~ -リミットの有理数 ~~<math>~~q~~</math>~~ は定義より ~~<math>~~p~~</math>~~ 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。		''p''-リミットの有理数''q''は定義より''p''以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

	<math>q = 2^{e_2} ~~\cdot~~ 3^{e_3} ~~\cdot~~ 5^{e_5} \~~cdots~~ p^{e_p}</math>		<math>q = 2^{e_2} 3^{e_3} 5^{e_5} \dotsm p^{e_p}</math>

	ただし指数は整数である。		ただし指数は整数である。
Line 14:		Line 14:
	これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、		これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、

	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \~~cdots~~ e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|Joe Monzo(en)]]の情熱的な支援にちなんでいる。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|Joe Monzo(en)]]の情熱的な支援にちなんでいる。
Line 20:		Line 20:
	モンゾの[[Tenney height\|Tenney高さ(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|Tenney高さ(en)]]は以下のように与えられる。

	<math>\\| \|e_2 \, e_3 \~~cdots~~ e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \~~cdots~~ + \|e_p\| \log_2 p</math>		<math>\\| \|e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \dotsb + \|e_p\| \log_2 p</math>

	これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって ~~<math>~~p~~</math>~~ -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。		これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって''p''-リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間<math>I</math>に埋め込むことができる。ただし<math>\pi(x)</math>は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間<math>I</math>を張る<math>I</math>の離散部分群である。

	素数 <~~math~~>k</~~math~~> ~~に対応する座標~~ <~~math~~>~~e_k~~</~~math> に <math~~>~~\log_2~~ k~~</math>~~ を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。		素数''k''に対応する座標''e''<sub>''k''</sub>にlog<sub>2</sub> ''k''を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
	ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }}は周波数比2を表すが、{{monzo \| 0 log<sub>3</sub> 2}}も同様に2を表す。		ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }}は周波数比2を表すが、{{monzo \| 0 log<sub>3</sub> 2}}も同様に2を表す。

	ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間(en)]]が得られる。明示的に、モンゾ{{monzo \| e<sub>2</sub> e<sub>3</sub> … e<sub>p</sub>}}をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。		ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間(en)]]が得られる。明示的に、モンゾ{{monzo \| e<sub>2</sub> e<sub>3</sub> … e<sub>p</sub>}}をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

	<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \~~cdots~~ + (e_p \log_2 p)^2}</math>		<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2}</math>

	そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または''L''<sup>2</sup>-~~ノルムとなる。~~		そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ''L''<sup>2</sup>-ノルム]となる。

	==別の定義==		==別の定義==

			''q''を有理数とすると、以下に示す定義によって''q''をモンゾ形式に書き換えることができる。

			<math>q = \|v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle</math>

			このモンゾのテニー高さは以下のように与えられる。

			<math>\\| \|v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \\| = \|v_2 (q)\| + \|v_3 (q)\| \log_2 3 + \dotsb + \|v_p (q)\| \log_2 p</math>

			ただし、<math>v_p (q)</math>は''q''の[https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4 ''p''進賦値]である。

	==例==		==例==

			5-リミットの音程 16/15 は 2<sup>4</sup>×3<sup>-1</sup>×5<sup>-1</sup> と分解され、モンゾでは{{monzo\|4 -1 -1}}となる。重み付き座標の場合、{{monzo\|4 -log<sub>2</sub> 3 -log<sub>2</sub> 5}}となり、近似値では{{monzo\|4 -1.585 -2.322}}となる。

			したがってTEノルムは

			<math>\sqrt{(4^2 + \log_2(3)^2 + \log_2(5)^2)} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889</math>

			となる。

	==関連項目==		==関連項目==

			*[[Fractional monzo\|分数モンゾ(en)]]
			*[[Vals and tuning space\|ヴァルと調律空間(en)]]

	==脚注==		==脚注==

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Line 12:		Line 12:
	ただし指数は整数である。		ただし指数は整数である。

	これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]~~を参照~~)~~を用いて、~~		これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照のこと)を模した表記を用いて、

	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|~~ジョー・モンゾ~~(en)]]~~の情熱的な支援に由来する。~~		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|Joe Monzo(en)]]の情熱的な支援にちなんでいる。

	モンゾの[[Tenney height\|~~テニー高さ~~(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|Tenney高さ(en)]]は以下のように与えられる。

	<math>\\| \|e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \cdots + \|e_p\| \log_2 p</math>		<math>\\| \|e_2 \, e_3 \cdots e_p \rangle \\| = \|e_2\| + \|e_3\| \log_2 3 + \cdots + \|e_p\| \log_2 p</math>
Line 24:		Line 24:
	これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって <math>p</math> -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。		これはベクトル空間のノルムである。よって写像 <math>M:monzos \rightarrow I </math> によって <math>p</math> -リミットモンゾを次元 <math>n = \pi(p)</math> のノルム線型空間 <math>I</math> に埋め込むことができる。ただし <math>\pi(x)</math> は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E8%A8%88%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0 素数計数関数]。この埋め込みの下モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 <math>I</math> を張る <math>I</math> の離散部分群である。

	~~もし素数~~ <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> ~~をかけて座標を変換したならば、そのノルムは通常の~~ <~~math~~>L^1</~~math~~>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)~~。このベクトル空間はテニー音程空間であり、この変換された座標と通常の~~ <math>L^1</math>-~~ノルムの組がテニー音程空間の標準基底を構成する。~~		素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の ''L''<sup>1</sup>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はTenney音程空間であり、この通常の''L''<sup>1</sup>-ノルムによって変換された座標がTenney空間の標準基底を構成する。
			ここで、モンゾはある正の実数(モンゾの場合は常に有理数)に一意に対応するが、Tenney空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、{{monzo\| 1 0 }}は周波数比2を表すが、{{monzo \| 0 log<sub>3</sub> 2}}も同様に2を表す。

			ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく''L''<sup>1</sup>-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、Tenney音程空間の代わりに[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-ユークリッド音程空間(en)]]が得られる。明示的に、モンゾ{{monzo \| e<sub>2</sub> e<sub>3</sub> … e<sub>p</sub>}}をとったとき、そのTenney-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

			<math>\sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \cdots + (e_p \log_2 p)^2}</math>

			そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または''L''<sup>2</sup>-ノルムとなる。

	==別の定義==		==別の定義==

BudjarnLambeth: Corrected Joe Monzo to Joseph Monzo

2023-08-09T08:45:55Z

Corrected Joe Monzo to Joseph Monzo

← Older revision		Revision as of 08:45, 9 August 2023
Line 16:		Line 16:
	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[~~Joe~~ Monzo\|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。

	モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。

Triethylamine: /* 定義 */

2023-02-20T06:18:51Z

定義

← Older revision		Revision as of 06:18, 20 February 2023
Line 10:		Line 10:
	<math>q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p}</math>		<math>q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p}</math>

	~~ただし指数は整数(正、負、0)である。~~		ただし指数は整数である。

	これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照)を用いて、		これはしばしばケットベクトル(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95 Wikipedia - ブラ-ケット記法]を参照)を用いて、

Triethylamine: /* 定義 */

2023-02-20T06:18:18Z

定義

← Older revision		Revision as of 06:18, 20 February 2023
Line 8:		Line 8:
	<math>p</math> -リミットの有理数 <math>q</math> は定義より <math>p</math> 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。		<math>p</math> -リミットの有理数 <math>q</math> は定義より <math>p</math> 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

	<math>q = 2^{e_2} \~~times~~ 3^{e_3} \~~times~~ 5^{e_5} ~~\times~~ \cdots ~~\times~~ p^{e_p}</math>		<math>q = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots p^{e_p}</math>

	ただし指数は整数(正、負、0)である。		ただし指数は整数(正、負、0)である。

Triethylamine: /* 定義 */

2023-01-30T00:57:51Z

定義

← Older revision		Revision as of 00:57, 30 January 2023
Line 16:		Line 16:
	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joe Monzo\|ジョー・モンゾ]]の情熱的な支援に由来する。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joe Monzo\|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。

	モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。
Line 25:		Line 25:

	もし素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> をかけて座標を変換したならば、そのノルムは通常の <math>L^1</math>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はテニー音程空間であり、この変換された座標と通常の <math>L^1</math>-ノルムの組がテニー音程空間の標準基底を構成する。		もし素数 <math>k</math> に対応する座標 <math>e_k</math> に <math>\log_2 k</math> をかけて座標を変換したならば、そのノルムは通常の <math>L^1</math>-ノルムとなる(詳細は[https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%96%93#%E6%9C%89%E9%99%90%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B_p-%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 Wikipedia - Lp空間#有限次元における p-ノルム]を参照)。このベクトル空間はテニー音程空間であり、この変換された座標と通常の <math>L^1</math>-ノルムの組がテニー音程空間の標準基底を構成する。



	==別の定義==		==別の定義==

← Older revision		Revision as of 08:45, 9 August 2023
Line 16:		Line 16:
	<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>		<math>\|e_2 \, e_3 \, e_5 \cdots e_p \rangle</math>

	のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[~~Joe~~ Monzo\|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。		のように書かれる。この時、このベクトルを'''モンゾ'''(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、[[Joseph Monzo\|ジョー・モンゾ(en)]]の情熱的な支援に由来する。

	モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。		モンゾの[[Tenney height\|テニー高さ(en)]]は以下のように与えられる。