User:Dummy index/No-1s odd-limit consistency - Revision history

Dummy index at 15:15, 1 July 2023

2023-07-01T15:15:23Z

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	Related: [[Consistency limits of small EDOs]], [[Monotonicity levels of small EDOs]]		Related: [[Consistency limits of small EDOs]], [[Monotonicity levels of small EDOs]]

			== Related topics ==
			* [[Non-over-1 temperament]]: a more disruptive approach

Dummy index: /* Draft in Japanese */

2023-06-13T13:42:44Z

Draft in Japanese

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	{{Harmonics in equal\|23\|columns=3}}		{{Harmonics in equal\|23\|columns=3}}

	7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。valを調整することでconsistencyを高める、というような言い方がされる場合があるが、適切な単語がなくコミュニケーションに支障をきたしている。		7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。

	<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 33=9 や 35=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）		<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 33=9 や 35=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）
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	/		/
	</pre>		</pre>
	となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが{{val\|23 6 23 34}}でもいいし{{val\|23 1036 1053 1064}}~~でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実はこれは問題にならない。23dである~~{{val\|23 36 53 64}}と23bcである{{val\|23 37 54 65}}の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。		となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが {{val\|23 6 23 34}} でもいいし {{val\|23 1036 1053 1064}} でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実際に 3/1 のマッピングが完全に自由かはケースバイケースである。23dである {{val\|23 36 53 64}} と23bcである {{val\|23 37 54 65}} の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

	no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。		no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。

	no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 ~~の最近傍近似でなければならない。（これを困るというなら、no~~-~~1sの定義を変更するか、~~ 3*3=9 ~~ではないですdula~~-~~fifthです、と言っておかないといけない。）~~		no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これが困る、3/1 と 9/3 を違うものとして扱いたいというなら、odd-limitとconsistencyの定義に戻ってdual-fifth化する必要がある。）

			no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、9/3 = 3/1 も含めて整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて矛盾は生じない。<nowiki>[[Consistency #Alternative formulation using val]]</nowiki>で証明済みだが、音程集合に素数倍音の一部または全部が含まれていなくても音程集合がconsistentならそれを再現するvalが存在する。

			=== GPVとの比較 ===
			端的にはval内の値の変化のさせ方が異なる。GPVでは {{val\|23 6 23 34}} のようなものは出てこない。しかしno-1s 9-odd-limit以上だと逆にvalはEDO毎に1種類しか存在しない。

	no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。
	== Translation to English ==		== Translation to English ==
	(work in progress)		(work in progress)

Dummy index: I checked the algorithm that the vals are obtained properly.

2023-06-11T13:39:58Z

I checked the algorithm that the vals are obtained properly.

← Older revision		Revision as of 13:39, 11 June 2023
Line 1:		Line 1:
	(~~under construction and not yet translation~~)		== Draft in Japanese ==
			(fixed as draft)

	一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの用途がある。		一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの用途がある。
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	{{Harmonics in equal\|23\|columns=3}}		{{Harmonics in equal\|23\|columns=3}}

	7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 ~~が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求められないか？~~		7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求めたい。valを調整することでconsistencyを高める、というような言い方がされる場合があるが、適切な単語がなくコミュニケーションに支障をきたしている。

	<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 33=9 や 35=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）		<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 33=9 や 35=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）
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	no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。		no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。
			== Translation to English ==
			(work in progress)

	== No-1s consistency limits of small EDOs ==		== No-1s consistency limits of small EDOs ==

Dummy index: /* No-1s consistency limits of small EDOs */

2023-06-11T13:06:45Z

No-1s consistency limits of small EDOs

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	{{#invoke:No-1s limits\|for_small_edos		{{#invoke:No-1s limits\|for_small_edos
	\| lines=31		\| lines=72
	}}		}}

			Related: [[Consistency limits of small EDOs]], [[Monotonicity levels of small EDOs]]

Dummy index at 07:20, 11 June 2023

2023-06-11T07:20:31Z

← Older revision		Revision as of 07:20, 11 June 2023
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	no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。		no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。

	no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 9~~/1 と 3/1 の差として現れたものだが、もちろん~~ 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これを困るというなら、no-1sの定義を変更するか、 3*3=9 ではないですdula-fifthです、と言っておかないといけない。）		no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 3 倍音と 9 倍音の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これを困るというなら、no-1sの定義を変更するか、 3*3=9 ではないですdula-fifthです、と言っておかないといけない。）

	no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。		no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。

			== No-1s consistency limits of small EDOs ==
			[[Module:No-1s limits]]

			{{#invoke:No-1s limits\|for_small_edos
			\| lines=31
			}}

Dummy index at 07:54, 10 June 2023

2023-06-10T07:54:16Z

← Older revision		Revision as of 07:54, 10 June 2023
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	(under construction and not yet translation)		(under construction and not yet translation)

	一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-~~limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの目的がある。~~		一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの用途がある。

	* 実際にmissing fundamentalである場合。		* 実際にmissing fundamentalである場合。
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	7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求められないか？		7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val\|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求められないか？

	<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が来る、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただ残念ながらno-1s odd-~~limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。~~		<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が構成される、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。（q-odd-limit consistency自体も 9 以降は 33=9 や 35=15 が検査内容に含まれる元々複雑なものである。）

	no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする）		no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする）
Line 25:		Line 25:
	となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが{{val\|23 6 23 34}}でもいいし{{val\|23 1036 1053 1064}}でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実はこれは問題にならない。23dである{{val\|23 36 53 64}}と23bcである{{val\|23 37 54 65}}の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。		となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが{{val\|23 6 23 34}}でもいいし{{val\|23 1036 1053 1064}}でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実はこれは問題にならない。23dである{{val\|23 36 53 64}}と23bcである{{val\|23 37 54 65}}の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

	no-1s 5-odd-~~limitの場合近似される音程自体が~~ {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 ~~である。~~		no-1s 5-odd-limitの場合、近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。N-edo(5/3) ≠ N-edo(5/1) - N-edo(3/1) の場合得られるvalはpatent valを含まない。

	no-1s 9-odd-~~limitの場合~~ 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 ~~を何ステップにマップするべきかが定まる。ただ~~ 3/~~5 の段階ですでに誤差が大きく、9~~/~~5 で誤差が繰り上がった場合、得られるのが~~ 3/1 ~~のsecond-best mappingとなるので、9~~/1 ~~はsecond~~-best mappingを2個積む事になり誤差が大きいかもしれないことは注意が必要である。しかしこれが唯一valとして成立するマッピングであるので仕方ない。		no-1s 9-odd-limitの場合、diamond中に 9/3 = 3/1 が現れ、また（consistentなら同じことだが） 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。この 3/1 は 9/1 と 3/1 の差として現れたものだが、もちろん 3/1 の最近傍近似でなければならない。（これを困るというなら、no-1sの定義を変更するか、 3*3=9 ではないですdula-fifthです、と言っておかないといけない。）

	no-1s 15-odd-~~limitの場合~~		no-1s 15-odd-limitの場合、diamond中に追加で 15/5 = 3/1 と 15/3 = 5/1 が現れるが、consistentならこの2つは 5/3 を介して整合的だし 9/3 = 3/1 とも整合するので、3/1 を何ステップにマップするべきかについて同内容となる。これ以降もvalを求めるのに問題はなさそう。

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2023-06-09T15:34:03Z

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(under construction and not yet translation)

一貫性を考える音程集合として、no-1s q-odd-limitを考える。これは倍音列から基底音を除外するということ。これには2つの目的がある。

* 実際にmissing fundamentalである場合。
* ある種の設計目的のため。

前者はここでは考えない。
後者は例としては 23edoである。7-limitのpatent valはこうなる。
{{Harmonics in equal|23|columns=3}}

7倍音の誤差が3倍音・5倍音と反対側に大きくなっており、このため 7/5 などが最近傍近似と一致しない。ここで 7 倍音のmappingを 64 ステップに変更しvalが {{val|23 36 53 64}} (23d)になると 7/5 が最近傍近似になる。（7/1 や 7/4 が最近傍近似でなくなるがわかっててやっているものとする。）これをvalの調整ではなく演繹的に求められないか？

<nowiki>[[Consistency]]</nowiki>の冒頭の説明は、まず倍音列がありそれを元に残りの純正音程が来る、という発想を印象づけるものである（RTTの基礎でもある）。これを逆転させる必要がある。倍音列と下倍音列以外の音程が先にあり、それらの最近傍近似が一貫性を満たしているかを確かめる。それからそれらを生成できるvalを導出する。ただ残念ながらno-1s odd-limitが集合として複雑なため以下個別の検討を要する。

no-1s 7-odd-limit tonality diamondを書いてみると（ここでoctave reductionのことは考えないこととする）
<pre> /
/ 7/3
/ 5/3 7/5
/ 3/3 5/5 7/7
/ 3/5 5/7
/ 3/7
/
</pre>
となり、3/1, 5/1, 7/1 等が対象外となる。<nowiki>[[Consistency #Mathematical definition]]</nowiki>に基づき検査を行うが、実質的に N-edo(7/3) = N-edo(5/3) + N-edo(7/5) の式1つだけとなる。さて一貫性があると確認されたとして、ここから確認できる情報は、5/3 を掛けることで分子の 3 を 5 に取り替えた（または分母の以下略）場合に何ステップ増加するかと、7/5 を掛けて以下同様に何ステップ増加するかだけであり、3/1 を何ステップにマップするべきかは明らかにならない。23edoの場合でいうとvalが{{val|23 6 23 34}}でもいいし{{val|23 1036 1053 1064}}でもいいということであり、つまり一意に定まらない。しかし実はこれは問題にならない。23dである{{val|23 36 53 64}}と23bcである{{val|23 37 54 65}}の両方が本wiki中に用例があり、このようなpatent valに近い2件程度を代表例として報告するのが妥当と考えられる。

no-1s 5-odd-limitの場合近似される音程自体が {1/1, 5/3, 3/5} しかなく、5/3 が最近傍近似であり 1/1 の最近傍近似が 0 ステップである以上、一貫性があると言わざるを得ない。つまりno-1s consistency limitの最小値は 5 である。

no-1s 9-odd-limitの場合 3/5 と 9/5 の関係から 3/1 を何ステップにマップするべきかが定まる。ただ 3/5 の段階ですでに誤差が大きく、9/5 で誤差が繰り上がった場合、得られるのが 3/1 のsecond-best mappingとなるので、9/1 はsecond-best mappingを2個積む事になり誤差が大きいかもしれないことは注意が必要である。しかしこれが唯一valとして成立するマッピングであるので仕方ない。

no-1s 15-odd-limitの場合