User:Dummy index/ヴァルと調律空間 - Revision history

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	~~{{interwiki~~		#REDIRECT [[ヴァルと調律空間]]
	~~\| de = Val~~
	~~\| en = Vals and Tuning Space~~
	~~\| es =~~
	~~\| ja = ヴァルと調律空間~~
	}}

	~~__FORCETOC__~~
	~~== 定義 ==~~
	[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

	ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。

	ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo\| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo\| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo\| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

	オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val\| 0 1 4 }} が握っている。

	~~=== Definition for mathematicians ===~~
	The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

	~~=== 日本語版補足（次元解析方面から） ===~~
	モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:ベクトルの共変性と反変性]] の概要が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。

	~~== ヴァルとモンゾ ==~~
	ヴァル V とモンゾ M が同じランクで、ブラケット記法で ⟨V\|M⟩ (または V(M))と書くと、準同型写像 V を M に適用するという意味になる。例えば、V = {{val\| 12 19 28 34 }} かつ M = {{monzo\| -5 2 2 -1 }} とした場合、⟨V\|M⟩ = 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0 となる。

	これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。

	モンゾをベクトル空間に埋め込み、ベクトル空間上の格子とすることで、様々なノルムをモンゾに定義できる。ケットベクトル空間のノルム \|\|M\|\| が与えられると、それに対するブラベクトル空間の[http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html 双対ノルム] \|\|V\|\| が定義され次式が成立する:

	~~<math>\displaystyle~~
	~~\lvert \langle V\|M \rangle \rvert \le \lVert V \rVert \lVert M \rVert~~
	~~</math>~~

	[http://mathworld.wolfram.com/L1-Norm.html ''L''<sup>1</sup>-ノルム]の双対は[http://mathworld.wolfram.com/L-Infinity-Norm.html ''L''<sup>∞</sup>-ノルム]となり、[[モンゾと音程空間\|Tenney音程空間]]の双対はTenney調律空間となる。モンゾのノルム空間への埋め込みは自動的に双対となるヴァルの埋め込み（ヴァルが格子点となる）を誘導する。''L''<sup>2</sup>-ノルムの双対は''L''<sup>2</sup>-ノルムであり、Tenney-ユークリッド音程空間の双対は''Tenney-ユークリッド調律空間''となる。ヴァル V のユークリッドノルムは以下のようになる。(Tenney音程空間でやったスケーリングの逆を行ったうえでユークリッド距離を求める）

	~~<math>\displaystyle~~
	~~\lVert V \rVert = \sqrt{\left(\frac{v_1}{\log_2(2)}\right)^2 + \left(\frac{v_2}{\log_2(3)}\right)^2 + \left(\frac{v_3}{\log_2(5)}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{v_n}{\log_2(p)}\right)^2}~~
	~~</math>~~



	~~これはRMSに変換するのにも便利であり、その結果が[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]、あるいはTEノルムとなる。~~

	調律空間という名前に反して、まともにチューニングといえるベクトルの領域は小さい。それは[[Just intonation point]]の付近である。JIPを重み付き座標系で書くと J = {{val\| 1 1 1 … 1 }} となる（重み付き座標系でのモンゾは素因数ごとに分けたそれぞれを一律にlog<sub>2</sub>したものになるので、すべて足せば元の純正音程をlog<sub>2</sub>したものと一致する）。重みなし座標系では J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}} となる（<math>\small \mathsf{oct}/𝗽</math>の意味で書いた場合）。

	~~== 例 ==~~
	7リミット[[31平均律]]のパテントヴァルは {{val\| 31 49 72 87 }} である。これは 31 ステップが 2/1 になり、約 49 ステップで 3/1 に、72 で 5/1 に、87 で 7/1 になることを示している。重み付き座標系では、

	~~<math>\displaystyle~~
	~~\left<31 \; \frac{49}{\log_2(3)} \; \frac{72}{\log_2(5)} \; \frac{87}{\log_2(7)}\right\|~~
	~~%original was <31 49/log2(3) 72/log2(5) 87/log2(7)\|</math>~~

	となり、約 {{val\| 31.000 30.916 31.009 30.990 }}となる。ユークリッドノルムを計算すると sqrt (3838.694)、あるいは 61.957となる。RMS化するために sqrt (4) = 2 で割ると 30.976 となりこれがTEノルムとなる。重み付きヴァルの各項やTEノルムはEDOの分割数に近い値となることが期待される。

	~~<!--[[Category:Regular temperament theory]]~~
	~~[[Category:Math]]~~
	~~[[Category:Tuning space]]~~
	~~[[Category:Val]]~~

	~~{{Todo\| intro }}-->~~
	~~[[Category:Japanese-language pages~~]]

Dummy index at 15:37, 18 April 2024

2024-04-18T15:37:18Z

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	The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".		The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

	=== ~~日本語版補足~~ ===		=== 日本語版補足（次元解析方面から） ===
	モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:ベクトルの共変性と反変性]] の概要 ~~が参考になる。モンゾの各値は「素因数ごとの重複度」であるのに対して、ヴァルの各値は「素因数の重複度~~ 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。		モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:ベクトルの共変性と反変性]] の概要が参考になる。モンゾの各成分は「その素因数の重複度」であるのに対して、ヴァルの各成分は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。

	== ヴァルとモンゾ ==		== ヴァルとモンゾ ==
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	これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。		これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。

	モンゾをベクトル空間に埋め込み、ベクトル空間上の格子とすることで、様々なノルムをモンゾに定義できる。ケットベクトル空間のノルムが与えられると、それに対するブラベクトル空間の[http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html 双対ノルム] \|\|V\|\| が定義され次式が成立する:		モンゾをベクトル空間に埋め込み、ベクトル空間上の格子とすることで、様々なノルムをモンゾに定義できる。ケットベクトル空間のノルム \|\|M\|\| が与えられると、それに対するブラベクトル空間の[http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html 双対ノルム] \|\|V\|\| が定義され次式が成立する:

	<math>\displaystyle		<math>\displaystyle
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	~~これはRMSに変換するのにも便利であり、これが~~[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]~~、あるいはTE normとなる。~~		これはRMSに変換するのにも便利であり、その結果が[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]、あるいはTEノルムとなる。

	調律空間という名前に反して、まともにチューニングといえるベクトルの領域は小さい。それは[[Just intonation point]]の付近である。JIPを重み付き座標系で書くと J = {{val\| 1 1 1 … 1 }} となる（重み付き座標系でのモンゾは素因数ごとに分けたそれぞれを一律にlog<sub>2</sub>したものになるので、すべて足せば元の純正音程をlog<sub>2</sub>したものと一致する）。重みなし座標系では J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}} となる（<math>\small \mathsf{oct}/𝗽</math>の意味で書いた場合）。		調律空間という名前に反して、まともにチューニングといえるベクトルの領域は小さい。それは[[Just intonation point]]の付近である。JIPを重み付き座標系で書くと J = {{val\| 1 1 1 … 1 }} となる（重み付き座標系でのモンゾは素因数ごとに分けたそれぞれを一律にlog<sub>2</sub>したものになるので、すべて足せば元の純正音程をlog<sub>2</sub>したものと一致する）。重みなし座標系では J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}} となる（<math>\small \mathsf{oct}/𝗽</math>の意味で書いた場合）。

Dummy index at 15:55, 16 April 2024

2024-04-16T15:55:08Z

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	=== Definition for mathematicians ===		=== Definition for mathematicians ===
	The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".		The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

			=== 日本語版補足 ===
			モンゾのアーベル群の[[Wikipedia:ja:双対]]がヴァルのアーベル群になるということだが、双対についてなじみがない場合は、[[Wikipedia:ja:ベクトルの共変性と反変性]] の概要が参考になる。モンゾの各値は「素因数ごとの重複度」であるのに対して、ヴァルの各値は「素因数の重複度 1 あたりのステップ数」となり、重複度に関して逆の次元となっている。

	== ヴァルとモンゾ ==		== ヴァルとモンゾ ==

Dummy index at 14:30, 15 April 2024

2024-04-15T14:30:44Z

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	[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。		[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

	ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで''a''は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b''は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c''は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。		ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで ''a'' は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b'' は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c'' は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。

	ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo\| 1 0 }} ~~にマップされ、また 2~~/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo\| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo\| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。		ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo\| 1 0 }} にマップされ、2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo\| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo\| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

	オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val\| 0 1 4 }} が握っている。		オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val\| 0 1 4 }} が握っている。
Line 20:		Line 20:

	== ヴァルとモンゾ ==		== ヴァルとモンゾ ==
	ヴァル V とモンゾ M が同じランクで、ブラケット記法で ⟨V\|M⟩ (または V(M))と書くと、準同型写像 V を M ~~に適用するという意味になる。（行列積、この場合は出力がスカラーなので要するに内積となる。）例えば、V~~ = {{val\| 12 19 28 34 }} かつ M = {{monzo\| -5 2 2 -1 }} とした場合、⟨V\|M⟩ = 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0 となる。		ヴァル V とモンゾ M が同じランクで、ブラケット記法で ⟨V\|M⟩ (または V(M))と書くと、準同型写像 V を M に適用するという意味になる。例えば、V = {{val\| 12 19 28 34 }} かつ M = {{monzo\| -5 2 2 -1 }} とした場合、⟨V\|M⟩ = 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0 となる。

	これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。		これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。
Line 40:		Line 40:
	これはRMSに変換するのにも便利であり、これが[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]、あるいはTE normとなる。		これはRMSに変換するのにも便利であり、これが[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]、あるいはTE normとなる。

	~~It should be noted that despite the name, only vectors in a small region of tuning space can reasonably be considered to be tunings. These are the points in tuning space close to the JI point, or~~ [[~~JIP~~]]~~, which in weighted coordinates is~~ J = {{val\| 1 1 1 … 1 }}. It has the property that if M is a monzo in weighted coordinates, then ⟨J\|M⟩ or J (M) if you prefer, is exactly the log base two of the interval M represents, hence the name. In unweighted coordinates, J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}}~~, and applied to a monzo this gives the log base two of the corresponding interval.~~		調律空間という名前に反して、まともにチューニングといえるベクトルの領域は小さい。それは[[Just intonation point]]の付近である。JIPを重み付き座標系で書くと J = {{val\| 1 1 1 … 1 }} となる（重み付き座標系でのモンゾは素因数ごとに分けたそれぞれを一律にlog<sub>2</sub>したものになるので、すべて足せば元の純正音程をlog<sub>2</sub>したものと一致する）。重みなし座標系では J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}} となる（<math>\small \mathsf{oct}/𝗽</math>の意味で書いた場合）。

	== ~~Example~~ ==		== 例 ==
	~~The rank-1~~ [[~~7-limit~~]] ~~[[patent val]] corresponding to [[31edo]] is~~ {{val\| 31 49 72 87 }}~~. This tells us that~~ 31 ~~steps reaches the~~ 2~~, approximately~~ 49 ~~the~~ 3~~, 72 the~~ 5~~, and 87 the~~ 7~~. In weighted coordinates, it becomes~~		7リミット[[31平均律]]のパテントヴァルは {{val\| 31 49 72 87 }} である。これは 31 ステップが 2/1 になり、約 49 ステップで 3/1 に、72 で 5/1 に、87 で 7/1 になることを示している。重み付き座標系では、

	<math>\displaystyle		<math>\displaystyle
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	%original was <31 49/log2(3) 72/log2(5) 87/log2(7)\|</math>		%original was <31 49/log2(3) 72/log2(5) 87/log2(7)\|</math>

	~~which is approximately~~ {{val\| 31.000 30.916 31.009 30.990 }}~~. The standard Euclidean norm would then be the square root of the sum of squares of this vector, which is approximately~~ sqrt (3838.694)~~, or~~ 61.~~957. To use the RMS we divide that by~~ sqrt (4) = 2~~, giving~~ 30.976 ~~for the TE norm. Note that the TE norm for this val is approximately 31; any val closely approximating JI is expected to have the TE norm close to its division of the octave.~~		となり、約 {{val\| 31.000 30.916 31.009 30.990 }}となる。ユークリッドノルムを計算すると sqrt (3838.694)、あるいは 61.957となる。RMS化するために sqrt (4) = 2 で割ると 30.976 となりこれがTEノルムとなる。重み付きヴァルの各項やTEノルムはEDOの分割数に近い値となることが期待される。

	<!--[[Category:Regular temperament theory]]		<!--[[Category:Regular temperament theory]]

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2024-04-14T13:09:57Z

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	これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。		これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。

	By [[Wikipedia: Embedding\|embedding]] the monzos into a suitable vector space, norms may be placed on the monzos in various ways, turning them into [http://mathworld.wolfram.com/PointLattice.html lattices] in a vector space. Given a vector space norm on a space of ket vectors, the [http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html ~~dual vector space norm~~] ~~on the space of bra vectors is defined as the least quantity~~ \|\|V\|\| ~~making~~		モンゾをベクトル空間に埋め込み、ベクトル空間上の格子とすることで、様々なノルムをモンゾに定義できる。ケットベクトル空間のノルムが与えられると、それに対するブラベクトル空間の[http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html 双対ノルム] \|\|V\|\| が定義され次式が成立する:

	<math>\displaystyle		<math>\displaystyle
Line 30:		Line 30:
	</math>		</math>

	~~to be always true. The dual of the~~ [http://mathworld.wolfram.com/L1-Norm.html ''L''<sup>1</sup> ~~norm~~] ~~is the~~ [http://mathworld.wolfram.com/L-Infinity-Norm.html ''L''-~~infinity norm~~], and the dual space of Tenney interval space is Tenney tuning space. The embedding of monzos into a real normed vector space automatically induces a dual embedding of vals into a corresponding normed vector space, tuning space, in which vals are lattice points. The dual norm to the ''L''<sup>2</sup> ~~norm is the~~ ''L''<sup>2</sup> ~~norm, and the dual space to Tenney~~-~~Euclidean interval space is~~ ''Tenney-~~Euclidean tuning space~~''~~. The Euclidean norm on a val~~ V ~~is given by~~		[http://mathworld.wolfram.com/L1-Norm.html ''L''<sup>1</sup>-ノルム]の双対は[http://mathworld.wolfram.com/L-Infinity-Norm.html ''L''<sup>∞</sup>-ノルム]となり、[[モンゾと音程空間\|Tenney音程空間]]の双対はTenney調律空間となる。モンゾのノルム空間への埋め込みは自動的に双対となるヴァルの埋め込み（ヴァルが格子点となる）を誘導する。''L''<sup>2</sup>-ノルムの双対は''L''<sup>2</sup>-ノルムであり、Tenney-ユークリッド音程空間の双対は''Tenney-ユークリッド調律空間''となる。ヴァル V のユークリッドノルムは以下のようになる。(Tenney音程空間でやったスケーリングの逆を行ったうえでユークリッド距離を求める）

	<math>\displaystyle		<math>\displaystyle
Line 38:		Line 38:


	~~It useful to renormalize to the RMS (root mean square) instead, which requires dividing the above by sqrt (''n''), where ''n'' = π (''p'') is the number of primes up to ''p''. This is the~~ [[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]~~, or TE norm.~~		これはRMSに変換するのにも便利であり、これが[[Tenney-Euclidean metrics\|Tenney-Euclidean norm]]、あるいはTE normとなる。

	It should be noted that despite the name, only vectors in a small region of tuning space can reasonably be considered to be tunings. These are the points in tuning space close to the JI point, or [[JIP]], which in weighted coordinates is J = {{val\| 1 1 1 … 1 }}. It has the property that if M is a monzo in weighted coordinates, then ⟨J\|M⟩ or J (M) if you prefer, is exactly the log base two of the interval M represents, hence the name. In unweighted coordinates, J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}}, and applied to a monzo this gives the log base two of the corresponding interval.		It should be noted that despite the name, only vectors in a small region of tuning space can reasonably be considered to be tunings. These are the points in tuning space close to the JI point, or [[JIP]], which in weighted coordinates is J = {{val\| 1 1 1 … 1 }}. It has the property that if M is a monzo in weighted coordinates, then ⟨J\|M⟩ or J (M) if you prefer, is exactly the log base two of the interval M represents, hence the name. In unweighted coordinates, J = {{val\| 1 log<sub>2</sub> (3) … log<sub>2</sub> (''p'')}}, and applied to a monzo this gives the log base two of the corresponding interval.

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2024-04-14T05:31:45Z

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	The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".		The ''p''-limit [[Monzos and interval space\|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism\|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

	== ~~Vals and monzos~~ ==		== ヴァルとモンゾ ==
	If V ~~is a val and~~ M ~~is a monzo of the same rank, then the [http://mathworld.wolfram.com/AngleBracket.html angle bracket], written~~ ⟨V\|M⟩ (~~or occasionally~~ V(M))~~, is the result of applying the [[Wikipedia: Group homomorphism\|homomorphism]]~~ V to M~~. For example, if V~~ = {{val\| 12 19 28 34 }} ~~and~~ M = {{monzo\| -5 2 2 -1 }} ~~then ⟨V~~\|M⟩ ~~equals~~ 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0.		ヴァル V とモンゾ M が同じランクで、ブラケット記法で ⟨V\|M⟩ (または V(M))と書くと、準同型写像 V を M に適用するという意味になる。（行列積、この場合は出力がスカラーなので要するに内積となる。）例えば、V = {{val\| 12 19 28 34 }} かつ M = {{monzo\| -5 2 2 -1 }} とした場合、⟨V\|M⟩ = 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0 となる。

	~~This tells us that in septimal 12 equal, represented by~~ V~~, the interval 225~~/224~~, represented by~~ M~~, is mapped to~~ 0~~, which represents 1. Hence,~~ 225/224 ~~vanishes in septimal 12 equal; it is in the~~ [~~http~~:~~//mathworld.wolfram.com/GroupKernel.html kernel~~] ~~of V. One should note in particular that the coordinates of V represent where the successive primes~~ 2, 3, 5 ~~and~~ 7 ~~are mapped.~~		これはセプティマル12平均律が V で表され、225/224 が M で表され、これが 0 ステップつまりユニゾンにマップされるということである。つまり 225/224 はセプティマル12平均律においてテンパーアウトされる。M は V の[[Wikipedia:ja:零空間]]に含まれる。V に含まれる座標は素数音程 2, 3, 5, 7 それぞれのマップ先を示している。

	By [[Wikipedia: Embedding\|embedding]] the monzos into a suitable vector space, norms may be placed on the monzos in various ways, turning them into [http://mathworld.wolfram.com/PointLattice.html lattices] in a vector space. Given a vector space norm on a space of ket vectors, the [http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html dual vector space norm] on the space of bra vectors is defined as the least quantity \|\|V\|\| making		By [[Wikipedia: Embedding\|embedding]] the monzos into a suitable vector space, norms may be placed on the monzos in various ways, turning them into [http://mathworld.wolfram.com/PointLattice.html lattices] in a vector space. Given a vector space norm on a space of ket vectors, the [http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html dual vector space norm] on the space of bra vectors is defined as the least quantity \|\|V\|\| making

Dummy index at 03:23, 14 April 2024

2024-04-14T03:23:40Z

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	[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。		[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

	ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]~~の通常の座標系では、ジェネレーターの組は最初の~~ ''k'' ~~個の素数であり、ヴァルの組は''p''-リミットの各素数音程が~~		ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで''a''は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b''は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c''は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。
	A ''rank-r'' temperament has ''r'' generators, and thus is defined by ''r'' vals. In the usual coordinates for the [[Harmonic limit\|''p''-limit]], the set of generators are the first ''k'' prime numbers and the set of vals for a ''p''-limit temperament gives you the coordinates for each prime harmonic in the ''p''-limit. For example, all 5-limit rank-1 temperaments, or [[equal temperament]]s, will be defined by a val {{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }}~~, where~~ ''a'' ~~is the number of generators it takes to reach the 2nd harmonic (~~2/1), ''b'' ~~is the number of generators to reach the 3rd harmonic (~~3/1~~), and~~ ''c'' ~~is the number of generators it takes to reach the 5th harmonic (~~5/1~~). All 5-limit rank-~~2 ~~temperaments are defined by two vals~~: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}~~. Now, we locate the 2nd harmonic (2~~/1~~) with the 2-dimensional coordinates~~ (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>)~~, sometimes written as~~ {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}~~, meaning go up ''a''<sub>1</sub> of the first generator, and up ''a''<sub>2</sub> of the 2nd generator, to reach 2~~/1~~. Similarly, the 3rd harmonic and 5th harmonic will be reached by~~ {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }} ~~and~~ {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} ~~respectively.~~

	~~As an example, consider meantone temperament, where~~ 81/80 ~~vanishes. Meantone can be considered a 5-limit rank-2 temperament, defined by the two-val mapping~~ {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}}~~. This tells us just about everything we need to know about how the 5-limit is mapped in meantone: since 2~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 1 0 }}~~, that tells us that the first generator ''is'' a~~ 2/1~~, and since 3~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 1 1 }}~~, that tells us that the 2nd generator is a~~ 3/2~~; then, since 5~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 0 4 }}~~, aka four 3~~/2~~'s up, that tells us that~~ 81/64 ~~(which is (3/2)<sup>4</sup>) equals~~ 5/1 (~~which is~~ 80/64)~~. Since~~ 81/~~64 is equated with~~ 80/64 here, that tells us that 81/80 is tempered out! Thus it is possible to derive from the mapping the approximate size of the two generators, the commas that are tempered out, and roughly the complexity of the temperament (the number of notes of the temperament we need to reach all the prime harmonics in the ''p''-limit). This makes the val an extremely compact and useful bit of notation for describing regular temperaments, since we can readily find where all of the primes are mapped along the temperament's chain of generators essentially at a glance.		ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo\| 1 0 }} にマップされ、また 2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo\| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo\| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

	~~Whenever one of the generators of a temperament is a~~ 2/1 ~~the key information is carried by the other vals, assuming octave equivalence (i.e. 3~~/1 = 3/2 ~~= 6/1 etc.). Thus the essential character of~~ 5~~-limit meantone is defined by a single val (the one for the 3~~/2 ~~generator), written~~ {{val\| 0 1 4 }}.		オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val\| 0 1 4 }} が握っている。

	=== Definition for mathematicians ===		=== Definition for mathematicians ===

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{{interwiki
| de = Val
| en = Vals and Tuning Space
| es =
| ja = ヴァルと調律空間
}}

__FORCETOC__
== 定義 ==
[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val| ''a''1 ''a''2 ''a''3 … ''a''k }} のように書かれ、ここで ''a''1 ''a''2 ''a''3 … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組は最初の ''k'' 個の素数であり、ヴァルの組は''p''-リミットの各素数音程が
A ''rank-r'' temperament has ''r'' generators, and thus is defined by ''r'' vals. In the usual coordinates for the [[Harmonic limit|''p''-limit]], the set of generators are the first ''k'' prime numbers and the set of vals for a ''p''-limit temperament gives you the coordinates for each prime harmonic in the ''p''-limit. For example, all 5-limit rank-1 temperaments, or [[equal temperament]]s, will be defined by a val {{val| ''a'' ''b'' ''c'' }}, where ''a'' is the number of generators it takes to reach the 2nd harmonic (2/1), ''b'' is the number of generators to reach the 3rd harmonic (3/1), and ''c'' is the number of generators it takes to reach the 5th harmonic (5/1). All 5-limit rank-2 temperaments are defined by two vals: {{monzo| {{val| ''a''1 ''b''1 ''c''1 }}, {{val| ''a''2 ''b''2 ''c''2 }} }}. Now, we locate the 2nd harmonic (2/1) with the 2-dimensional coordinates (''a''1, ''a''2), sometimes written as {{monzo| ''a''1 ''a''2 }}, meaning go up ''a''1 of the first generator, and up ''a''2 of the 2nd generator, to reach 2/1. Similarly, the 3rd harmonic and 5th harmonic will be reached by {{monzo| ''b''1 ''b''2 }} and {{monzo| ''c''1 ''c''2 }} respectively.

As an example, consider meantone temperament, where 81/80 vanishes. Meantone can be considered a 5-limit rank-2 temperament, defined by the two-val mapping {{monzo|{{val| 1 1 0 }}, {{val| 0 1 4 }}}}. This tells us just about everything we need to know about how the 5-limit is mapped in meantone: since 2/1 is mapped to {{monzo| 1 0 }}, that tells us that the first generator ''is'' a 2/1, and since 3/1 is mapped to {{monzo| 1 1 }}, that tells us that the 2nd generator is a 3/2; then, since 5/1 is mapped to {{monzo| 0 4 }}, aka four 3/2's up, that tells us that 81/64 (which is (3/2)4) equals 5/1 (which is 80/64). Since 81/64 is equated with 80/64 here, that tells us that 81/80 is tempered out! Thus it is possible to derive from the mapping the approximate size of the two generators, the commas that are tempered out, and roughly the complexity of the temperament (the number of notes of the temperament we need to reach all the prime harmonics in the ''p''-limit). This makes the val an extremely compact and useful bit of notation for describing regular temperaments, since we can readily find where all of the primes are mapped along the temperament's chain of generators essentially at a glance.

Whenever one of the generators of a temperament is a 2/1 the key information is carried by the other vals, assuming octave equivalence (i.e. 3/1 = 3/2 = 6/1 etc.). Thus the essential character of 5-limit meantone is defined by a single val (the one for the 3/2 generator), written {{val| 0 1 4 }}.

=== Definition for mathematicians ===
The ''p''-limit [[Monzos and interval space|monzos]] M form a free abelian group, or ℤ-module, of finite rank π (''p''), which is the number of primes up to and including ''p''. The [http://planetmath.org/encyclopedia/DualModule.html dual ℤ-module] M* is [[Wikipedia: Group isomorphism|isomorphic]] to M, but not in a canonical way. Hence it, the group (Z-module) of '''vals''', is also a free abelian group of rank π (''p''). Just as monzos are often written as [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html kets], vals are typically written as [http://mathworld.wolfram.com/Bra.html bras]. Vals are homomorphisms from a subgroup of finite rank of ℚ*, the abelian group of the positive rational numbers under multiplication, to the integers ℤ. The number theorist [[Yves Hellegouarch]] seems to have been the first to write about them, under the name "degrees".

== Vals and monzos ==
If V is a val and M is a monzo of the same rank, then the [http://mathworld.wolfram.com/AngleBracket.html angle bracket], written ⟨V|M⟩ (or occasionally V(M)), is the result of applying the [[Wikipedia: Group homomorphism|homomorphism]] V to M. For example, if V = {{val| 12 19 28 34 }} and M = {{monzo| -5 2 2 -1 }} then ⟨V|M⟩ equals 12×(-5) + 19×2 + 28×2 - 34 = 0.

This tells us that in septimal 12 equal, represented by V, the interval 225/224, represented by M, is mapped to 0, which represents 1. Hence, 225/224 vanishes in septimal 12 equal; it is in the [http://mathworld.wolfram.com/GroupKernel.html kernel] of V. One should note in particular that the coordinates of V represent where the successive primes 2, 3, 5 and 7 are mapped.

By [[Wikipedia: Embedding|embedding]] the monzos into a suitable vector space, norms may be placed on the monzos in various ways, turning them into [http://mathworld.wolfram.com/PointLattice.html lattices] in a vector space. Given a vector space norm on a space of ket vectors, the [http://mathworld.wolfram.com/DualNormedSpace.html dual vector space norm] on the space of bra vectors is defined as the least quantity ||V|| making

<math>\displaystyle
\lvert \langle V|M \rangle \rvert \le \lVert V \rVert \lVert M \rVert
</math>

to be always true. The dual of the [http://mathworld.wolfram.com/L1-Norm.html ''L''1 norm] is the [http://mathworld.wolfram.com/L-Infinity-Norm.html ''L''-infinity norm], and the dual space of Tenney interval space is Tenney tuning space. The embedding of monzos into a real normed vector space automatically induces a dual embedding of vals into a corresponding normed vector space, tuning space, in which vals are lattice points. The dual norm to the ''L''2 norm is the ''L''2 norm, and the dual space to Tenney-Euclidean interval space is ''Tenney-Euclidean tuning space''. The Euclidean norm on a val V is given by

<math>\displaystyle
\lVert V \rVert = \sqrt{\left(\frac{v_1}{\log_2(2)}\right)^2 + \left(\frac{v_2}{\log_2(3)}\right)^2 + \left(\frac{v_3}{\log_2(5)}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{v_n}{\log_2(p)}\right)^2}
</math>

It useful to renormalize to the RMS (root mean square) instead, which requires dividing the above by sqrt (''n''), where ''n'' = π (''p'') is the number of primes up to ''p''. This is the [[Tenney-Euclidean metrics|Tenney-Euclidean norm]], or TE norm.

It should be noted that despite the name, only vectors in a small region of tuning space can reasonably be considered to be tunings. These are the points in tuning space close to the JI point, or [[JIP]], which in weighted coordinates is J = {{val| 1 1 1 … 1 }}. It has the property that if M is a monzo in weighted coordinates, then ⟨J|M⟩ or J (M) if you prefer, is exactly the log base two of the interval M represents, hence the name. In unweighted coordinates, J = {{val| 1 log2 (3) … log2 (''p'')}}, and applied to a monzo this gives the log base two of the corresponding interval.

== Example ==
The rank-1 [[7-limit]] [[patent val]] corresponding to [[31edo]] is {{val| 31 49 72 87 }}. This tells us that 31 steps reaches the 2, approximately 49 the 3, 72 the 5, and 87 the 7. In weighted coordinates, it becomes

<math>\displaystyle
\left<31 \; \frac{49}{\log_2(3)} \; \frac{72}{\log_2(5)} \; \frac{87}{\log_2(7)}\right|
%original was <31 49/log2(3) 72/log2(5) 87/log2(7)|</math>

which is approximately {{val| 31.000 30.916 31.009 30.990 }}. The standard Euclidean norm would then be the square root of the sum of squares of this vector, which is approximately sqrt (3838.694), or 61.957. To use the RMS we divide that by sqrt (4) = 2, giving 30.976 for the TE norm. Note that the TE norm for this val is approximately 31; any val closely approximating JI is expected to have the TE norm close to its division of the octave.


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	[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。		[[ヴァル]] はJI音程を特定のステップ数にマップする。ヴァルを複数使って[[レギュラーテンペラメント]]のマッピングを定義する、つまりテンペラメントを定義することができる。ヴァルは {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … ''a''<sub>k</sub> }} のように書かれ、ここで ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> … は最初の ''k'' 個の素数がマップされるステップ数をそれぞれ表す。これは[[純正律サブグループ]]の基底を対象とする形に一般化できる。基底は線形独立である必要がある。

	ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]~~の通常の座標系では、ジェネレーターの組は最初の~~ ''k'' ~~個の素数であり、ヴァルの組は''p''-リミットの各素数音程が~~		ランク-''r'' テンペラメントは ''r'' 個のジェネレーターを持ち、''r'' 行のヴァルで定義される。[[リミット\|''p''-リミット]]の通常の座標系では、ジェネレーターの組み合わせで最初の ''k'' 個の素数を表現でき、ヴァルの組み合わせが各素数音程の座標（ジェネレーターを基底とする）を示す。例えば、5リミットのランク1テンペラメント（つまり平均律）は、{{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }} というヴァルで定義され、ここで''a''は 2/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''b''は 3/1 に到達するジェネレーターのステップ数、''c''は 5/1 に到達するジェネレーターのステップ数である。5リミットのランク2テンペラメントは 2 行のヴァルで定義される: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}。これで、2/1 が二次元座標 (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) 、これはモンゾで書かれる場合もある: {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}、に位置づけられる。同様に 3/1 は {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }}、5/1 は {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} となる。
	A ''rank-r'' temperament has ''r'' generators, and thus is defined by ''r'' vals. In the usual coordinates for the [[Harmonic limit\|''p''-limit]], the set of generators are the first ''k'' prime numbers and the set of vals for a ''p''-limit temperament gives you the coordinates for each prime harmonic in the ''p''-limit. For example, all 5-limit rank-1 temperaments, or [[equal temperament]]s, will be defined by a val {{val\| ''a'' ''b'' ''c'' }}~~, where~~ ''a'' ~~is the number of generators it takes to reach the 2nd harmonic (~~2/1), ''b'' ~~is the number of generators to reach the 3rd harmonic (~~3/1~~), and~~ ''c'' ~~is the number of generators it takes to reach the 5th harmonic (~~5/1~~). All 5-limit rank-~~2 ~~temperaments are defined by two vals~~: {{monzo\| {{val\| ''a''<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub> ''c''<sub>1</sub> }}, {{val\| ''a''<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub> ''c''<sub>2</sub> }} }}~~. Now, we locate the 2nd harmonic (2~~/1~~) with the 2-dimensional coordinates~~ (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>)~~, sometimes written as~~ {{monzo\| ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> }}~~, meaning go up ''a''<sub>1</sub> of the first generator, and up ''a''<sub>2</sub> of the 2nd generator, to reach 2~~/1~~. Similarly, the 3rd harmonic and 5th harmonic will be reached by~~ {{monzo\| ''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> }} ~~and~~ {{monzo\| ''c''<sub>1</sub> ''c''<sub>2</sub> }} ~~respectively.~~

	~~As an example, consider meantone temperament, where~~ 81/80 ~~vanishes. Meantone can be considered a 5-limit rank-2 temperament, defined by the two-val mapping~~ {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}}~~. This tells us just about everything we need to know about how the 5-limit is mapped in meantone: since 2~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 1 0 }}~~, that tells us that the first generator ''is'' a~~ 2/1~~, and since 3~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 1 1 }}~~, that tells us that the 2nd generator is a~~ 3/2~~; then, since 5~~/1 ~~is mapped to~~ {{monzo\| 0 4 }}~~, aka four 3~~/2~~'s up, that tells us that~~ 81/64 ~~(which is (3/2)<sup>4</sup>) equals~~ 5/1 (~~which is~~ 80/64)~~. Since~~ 81/~~64 is equated with~~ 80/64 here, that tells us that 81/80 is tempered out! Thus it is possible to derive from the mapping the approximate size of the two generators, the commas that are tempered out, and roughly the complexity of the temperament (the number of notes of the temperament we need to reach all the prime harmonics in the ''p''-limit). This makes the val an extremely compact and useful bit of notation for describing regular temperaments, since we can readily find where all of the primes are mapped along the temperament's chain of generators essentially at a glance.		ミーントーンを例とする。これは 81/80 をテンパーアウトする。ミーントーンは5リミットのランク2テンペラメントと考えられ、2 行からなるマッピング {{monzo\|{{val\| 1 1 0 }}, {{val\| 0 1 4 }}}} で定義される。これで5リミットがミーントーンにどうマップされるかが完全にわかる。2/1 は {{monzo\| 1 0 }} にマップされ、また 2/1 と 1 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。3/1 は {{monzo\| 1 1 }} にマップされ、1 番目のジェネレーター 1 個を取り去ると 3/2 と 2 番目のジェネレーター 1 個が一致していることがわかる。5/1 は {{monzo\| 0 4 }} にマップされ、3/2 を 4 個積み重ねた 81/64 と 5/1 (つまり 80/64) が一致させられていることがわかる。つまり 81/80 はテンパーアウトされている。このようにマッピングから 2 個のジェネレーターのおおよその大きさ、テンパーアウトされるコンマ、テンペラメントの複雑度（リミット内のすべての素数音程に到達するために必要な音程の数）を求めることができる。以上のように、ヴァルはレギュラーテンペラメントを記述するのにとてもコンパクトで有用な記法である。

	~~Whenever one of the generators of a temperament is a~~ 2/1 ~~the key information is carried by the other vals, assuming octave equivalence (i.e. 3~~/1 = 3/2 ~~= 6/1 etc.). Thus the essential character of~~ 5~~-limit meantone is defined by a single val (the one for the 3~~/2 ~~generator), written~~ {{val\| 0 1 4 }}.		オクターブ等価性を前提とすると、ジェネレーターの一つが 2/1 の場合それに対応するヴァル以外のヴァルが重要である（2/1 に対応するヴァルは、3/1 を 4 個積んだら 5/1 と何オクターブになるか？ 3/2 を 4 個積んだら 5/4 と何オクターブになるか？のようにあまり意味を感じられない部分になる）。ミーントーンの本質的な性質は 2 行目の {{val\| 0 1 4 }} が握っている。

	=== Definition for mathematicians ===		=== Definition for mathematicians ===