User:Dummy index/ヴァル - Revision history

Dummy index: Changed redirect target from ヴァル to ja:ヴァル

2024-11-02T14:40:13Z

Changed redirect target from ヴァル to ja:ヴァル

← Older revision		Revision as of 14:40, 2 November 2024
Line 1:		Line 1:
	#REDIRECT [[ヴァル]]		#REDIRECT [[:ja:ヴァル]]

Dummy index: Redirected page to ヴァル

2024-04-22T15:15:33Z

Redirected page to ヴァル

Show changes

Dummy index at 07:16, 20 April 2024

2024-04-20T07:16:58Z

← Older revision		Revision as of 07:16, 20 April 2024
Line 6:		Line 6:
	}}		}}
	{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}		{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}
	'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。		'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎となるものである。EDOを参照するのにヴァルを使うことがよくある。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。

	== 定義 ==		== 定義 ==
	ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。どの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。		ヴァルはその[[リミット]]内のすべての音程を、含まれるそれぞれの素数がそれぞれジェネレーター何ステップ分になるかを単純に示すことで平均律にマッピングする。リミット内のどの正の有理数も素数の積として記述でき、素数をジェネレーターのステップ数にマッピングできることはつまりどの正の有理数もマッピングできるということを意味する。同様にしてヴァルはテンパーされた 3/2 やテンパーされた 5/4 がジェネレーターの連鎖のどこに位置するのかを示してくれる。

	ヴァルは通常、{{val\| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。		ヴァルは通常、{{val\| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。
Line 34:		Line 34:
	任意のEDOのパテントヴァルは（EDOのOが純オクターブだとして）それぞれの素数音程が最も正確にマッピングされるステップ数を並べたものである。しかしながら、それ以外のステップ数を使いたい場合がよくある。例えば、5リミットのヴァル {{val\| 17 27 40 }} は 5/4 を 353 セントではなく 424 セントにマップする。これは17平均律のパテントヴァルではないが、6/5 などほかの音程のマッピングが改善し全体のエラーが小さくなるため好まれる。非パテントヴァルは''wart''を末尾に付加することで特定される。wartはパテントヴァルからの偏りを示す。この場合では、5/1 を 2 番目に正確なステップ数にマッピングすることを指定したい。5 は 3 番目の素数なので、3 番目のアルファベットをオクターブ分割数の後ろに書いて、17c となる。		任意のEDOのパテントヴァルは（EDOのOが純オクターブだとして）それぞれの素数音程が最も正確にマッピングされるステップ数を並べたものである。しかしながら、それ以外のステップ数を使いたい場合がよくある。例えば、5リミットのヴァル {{val\| 17 27 40 }} は 5/4 を 353 セントではなく 424 セントにマップする。これは17平均律のパテントヴァルではないが、6/5 などほかの音程のマッピングが改善し全体のエラーが小さくなるため好まれる。非パテントヴァルは''wart''を末尾に付加することで特定される。wartはパテントヴァルからの偏りを示す。この場合では、5/1 を 2 番目に正確なステップ数にマッピングすることを指定したい。5 は 3 番目の素数なので、3 番目のアルファベットをオクターブ分割数の後ろに書いて、17c となる。

	もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val\| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, ~~…となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる~~: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = ~~37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）~~		もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val\| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個の"c"は小さい近似、奇数個の"c"は大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では大小が逆になる場合もあるということ。）

	一般的な規則:		一般的な規則:
Line 41:		Line 41:
	* なので、wart文字がない数字はパテントヴァルを意味する。		* なので、wart文字がない数字はパテントヴァルを意味する。
	* wart文字が数字の''前に''つくことがある。これは何の素数音程を等分するのかを指定する。例えば、b13 は [[13edt\|13ed3]] のパテントヴァルを意味する。オクターブを等分したい場合にわざわざ "a" をつけることは通常ない。		* wart文字が数字の''前に''つくことがある。これは何の素数音程を等分するのかを指定する。例えば、b13 は [[13edt\|13ed3]] のパテントヴァルを意味する。オクターブを等分したい場合にわざわざ "a" をつけることは通常ない。
	* In Graham ~~Breed's temperament finder, the wart letter~~ "p" ~~is used to make explicit that the number refers to the patent val (though the letter originally was intended to stand for~~ "prime"~~). Note that~~ "p" ~~is logically the letter for prime~~ 53.		* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "p" はパテントヴァルであることを明示することに使われる（文字の由来としてはパテントではなく素数"prime"の頭文字なのだが）。本来なら "p" は素数 53 を意味する。
	* In Graham ~~Breed's temperament finder, the wart letter~~ "q" ~~and after refers each non-prime basis of composite~~/~~fractional subgroup, respectively and temporarily.~~		* Graham Breedのtemperament finderでは、wart文字 "q" とそれ以降は、特殊なサブグループの合成数や分数や53以上の素数の基底を表す場合に一時的にそれらに割り当てられる。
			** 本Wiki上では、アルファベットではない文字（<nowiki>*</nowiki>や†）に置き換えたり、基底が明示される記法が検討されたりしている。

	=== Sparse Offset Val notation ===		=== Sparse Offset Val notation ===
Line 86:		Line 87:
	{{Main\| Tmonzos and tvals }}		{{Main\| Tmonzos and tvals }}

	テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントごとに音程表記を考える動機のひとつとして、コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマが汲み出され簡潔に書けなくなっていくことが挙げられよう）。これらは''~~tval~~''と''~~tmonzo~~''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。		テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントの音程は純正音程で指し示すこともできるが、テンペラメントに合った音程表記を考えれば、音程の関係を簡潔に表せるし、コンマポンプをコンマが汲み出されないように簡潔に書くことができる）。これらは''tmonzo''と''tval''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。

	== ヴァルとマッピング ==		== ヴァルとマッピング ==
Line 92:		Line 93:
	ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。		ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。
	# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。		# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。
	# ~~ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）~~		# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼ぶ。）
	# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]（[[Wikipedia:ja:重複度 (数学)#素因数の重複度\|素因数の重複度]]（分母の場合は負））の線型結合である。（？）		# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]（[[Wikipedia:ja:重複度 (数学)#素因数の重複度\|素因数の重複度]]（分母の場合は負））の線型結合である。（？）

Dummy index at 15:17, 16 April 2024

2024-04-16T15:17:54Z

← Older revision		Revision as of 15:17, 16 April 2024
Line 6:		Line 6:
	}}		}}
	{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}		{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}
	'''ヴァル''' は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。		'''ヴァル'''(英 : val)は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。

	== 定義 ==		== 定義 ==
Line 21:		Line 21:
	5リミットのヴァルとして {{val\| 12 19 28 }} を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは[[12平均律]]である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。		5リミットのヴァルとして {{val\| 12 19 28 }} を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは[[12平均律]]である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。

	さて、この12平均律を7リミットに拡張することを想定する。もし12平均律の 10 ステップ (1000 セント) がテンパーされた 7/4 (本来は 968.83 セント) を表すという態度をとるなら、7/1 は、7/4 にオクターブを 2 個重ねたものだが、それは 10 ステップ＋ 12 ステップ＋ 12 ステップ＝ 34 ステップと等しくなる。この議論はしたがって、7リミットの {{val\| 12 19 28 34 }} と表現できる。		さて、この12平均律を7リミットに拡張することを想定する。もし12平均律の 10 ステップ (1000 セント) がテンパーされた 7/4 (本来は 968.83 セント) を表すという態度をとるなら、7/1 は、7/4 にオクターブを 2 個重ねたものだが、それは 10 ステップ + 12 ステップ + 12 ステップ = 34 ステップと等しくなる。この議論はしたがって、7リミットの {{val\| 12 19 28 34 }} と表現できる。

	もし何か奇妙な理由で 7/4 を 900 セントだということにするなら、それは {{val\| 12 19 28 33 }} と表現されるし、7/4 を 123000 セントだとしたいなら、それは {{val\| 12 19 28 1254 }} と表現される。		もし何か奇妙な理由で 7/4 を 900 セントだということにするなら、それは {{val\| 12 19 28 33 }} と表現されるし、7/4 を 123000 セントだとしたいなら、それは {{val\| 12 19 28 1254 }} と表現される。
Line 77:		Line 77:
	<!--Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}. すぐ上で2.3.21を例にしてしまっているので -->		<!--Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}. すぐ上で2.3.21を例にしてしまっているので -->

	サブグループのパテントヴァルは''p''-リミットのパテントヴァルと一致しないことがある。例えば、[[13平均律]]の 2.9.5 のパテントヴァルは、2.9.5 {{val\| 13 41 30 }} と書け、9/1 が 41 ステップとなるが、2.3.5 ~~サブグループ（＝5リミット）のパテントヴァルは~~ 3/1 を 21 ステップにマップする。2.3.5 パテントヴァルから誘導された 9/1 は、2.9.5 パテントヴァルで直接近似された 9/1 と同じにならない。		サブグループのパテントヴァルは''p''-リミットのパテントヴァルと一致しないことがある。例えば、[[13平均律]]の 2.9.5 のパテントヴァルは、2.9.5 {{val\| 13 41 30 }} と書け、9/1 が 41 ステップとなるが、2.3.5 サブグループ（=5リミット）のパテントヴァルは 3/1 を 21 ステップにマップする。2.3.5 パテントヴァルから誘導された 9/1 は、2.9.5 パテントヴァルで直接近似された 9/1 と同じにならない。

	この記法はサブグループモンゾでも同様である。2.9.5 サブグループにおける [[81/80]] は、2.9.5 {{monzo\| -4 2 -1 }} と書かれ、上記の 2.9.5 13平均律パテントヴァルで 81/80 がテンパーアウトされることが簡単に確かめられる:		この記法はサブグループモンゾでも同様である。2.9.5 サブグループにおける [[81/80]] は、2.9.5 {{monzo\| -4 2 -1 }} と書かれ、上記の 2.9.5 13平均律パテントヴァルで 81/80 がテンパーアウトされることが簡単に確かめられる:
Line 86:		Line 86:
	{{Main\| Tmonzos and tvals }}		{{Main\| Tmonzos and tvals }}

	テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマポンプが出現し簡潔に書けなくなっていく。テンペラメントごとに音程表記を考える動機になる）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。		テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（テンペラメントごとに音程表記を考える動機のひとつとして、コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマが汲み出され簡潔に書けなくなっていくことが挙げられよう）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。

	== ヴァルとマッピング ==		== ヴァルとマッピング ==
Line 93:		Line 93:
	# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。		# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。
	# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）		# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）
	# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]~~の線型結合である。~~		# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]（[[Wikipedia:ja:重複度 (数学)#素因数の重複度\|素因数の重複度]]（分母の場合は負））の線型結合である。（？）

	実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。ブラ記法の中に小数やlogが出てきたら、それは深く知りたい数学者でない限り無視していいものです。		実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。ブラ記法の中に小数やlogが出てきたら、それは深く知りたい数学者でない限り無視していいものです。

Dummy index at 15:10, 15 April 2024

2024-04-15T15:10:44Z

← Older revision		Revision as of 15:10, 15 April 2024
Line 36:		Line 36:
	もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val\| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）		もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val\| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）

	~~The general rules~~:		一般的な規則:
	* ~~Wart letters specify prime approximations being altered from the patent val. The~~ ''n''~~-th letter of the alphabet refers to the~~ ''n''~~-th prime~~: a~2, b~3, c~5, d~7, e~11 etc.		* wart文字はパテントヴァルから変化させたい素数を特定する。アルファベットの ''n'' 番目の文字は ''n'' 番目の素数を意味する: a~2, b~3, c~5, d~7, e~11 etc.
	* ~~A letter which appears~~ ''m'' ~~times refers to the~~ (''m'' + 1)~~-th most accurate mapping for that prime.~~		* wart文字の ''m'' 回繰り返しはその素数にとって (''m'' + 1) 番目に良い近似ステップ数を意味する。
	* ~~So, if a number representing~~ a ~~val is wartless, it is taken to mean the patent val.~~		* なので、wart文字がない数字はパテントヴァルを意味する。
			* wart文字が数字の''前に''つくことがある。これは何の素数音程を等分するのかを指定する。例えば、b13 は [[13edt\|13ed3]] のパテントヴァルを意味する。オクターブを等分したい場合にわざわざ "a" をつけることは通常ない。
	* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "p" is used to make explicit that the number refers to the patent val (though the letter originally was intended to stand for "prime"). Note that "p" is logically the letter for prime 53.		* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "p" is used to make explicit that the number refers to the patent val (though the letter originally was intended to stand for "prime"). Note that "p" is logically the letter for prime 53.
	* A wart letter may ''prefix'' the number, in which case it specifies the corresponding prime as the [[interval of equivalence]] to be divided by the following number. For example, b13 refers to the patent val of [[13edt\|13ed3]]. The octave is assumed, so "a" is typically not written out.
	* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "q" and after refers each non-prime basis of composite/fractional subgroup, respectively and temporarily.		* In Graham Breed's temperament finder, the wart letter "q" and after refers each non-prime basis of composite/fractional subgroup, respectively and temporarily.

Line 95:		Line 95:
	# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]の線型結合である。		# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]の線型結合である。

	実用上は、RTTにおいて大体の 1 ~~行だけのマッピングはヴァルである。それ以外の状況（重み付き座標系など）は数学者に任せましょう。~~		実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。ブラ記法の中に小数やlogが出てきたら、それは深く知りたい数学者でない限り無視していいものです。

	== 関連項目 ==		== 関連項目 ==

Dummy index at 15:38, 13 April 2024

2024-04-13T15:38:40Z

← Older revision		Revision as of 15:38, 13 April 2024
Line 17:		Line 17:
	For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]]. definitionの節なのにintroductionみたい、と思ったら -->		For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]]. definitionの節なのにintroductionみたい、と思ったら -->

	== ~~EDO の例~~ ==		== EDOの例 ==

	5リミットのヴァルとして {{val\| 12 19 28 }} を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは[[12平均律]]である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。		5リミットのヴァルとして {{val\| 12 19 28 }} を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは[[12平均律]]である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。
Line 88:		Line 88:
	テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマポンプが出現し簡潔に書けなくなっていく。テンペラメントごとに音程表記を考える動機になる）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。		テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマポンプが出現し簡潔に書けなくなっていく。テンペラメントごとに音程表記を考える動機になる）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。

	== ~~Vals vs. mappings~~ ==		== ヴァルとマッピング ==

	ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。		ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。
	# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]~~であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでスカラーが得られる余ベクトルである。~~		# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでステップ数が得られる余ベクトルである。
	# ~~ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び分ける）~~		# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び区別する。）
	# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]の線型結合である。		# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]の線型結合である。

	実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。それ以外の状況（重み付き座標系など）は数学者に任せましょう。		実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。それ以外の状況（重み付き座標系など）は数学者に任せましょう。

	== ~~See also~~ ==		== 関連項目 ==
	* [[Mapping]]		* [[Mapping]]
	* [[Map]]		* [[Map]]
Line 112:		Line 112:
	[[Category:Math]]		[[Category:Math]]
	[[Category:Notation]]-->		[[Category:Notation]]-->
			[[Category:Japanese-language pages]]

Dummy index at 15:01, 13 April 2024

2024-04-13T15:01:08Z

← Older revision		Revision as of 15:01, 13 April 2024
Line 73:		Line 73:
	サブグループヴァルを書くには、典型的には、ブラ記法の前にサブグループ（基底とその順番も含めて）を明示する。例として、2.3.7 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルは、2.3.7 {{val\|12 19 34}} と書かれる。サブグループが文脈で明らかなら改めて書かなくてもよいが、サブグループ記述子がないヴァルは何らかの''p''-リミットのヴァルであると思われがちなので注意すること。		サブグループヴァルを書くには、典型的には、ブラ記法の前にサブグループ（基底とその順番も含めて）を明示する。例として、2.3.7 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルは、2.3.7 {{val\|12 19 34}} と書かれる。サブグループが文脈で明らかなら改めて書かなくてもよいが、サブグループ記述子がないヴァルは何らかの''p''-リミットのヴァルであると思われがちなので注意すること。

	同じサブグループを異なった基底で使うことができる――例えば、2.3.21 {{val\| 12 19 43 }}、これは 2.3.21 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルである。サブグループとして 2.3.21 と 2.3.7 は同じものであるが、基底が異なることによりsvalも見た目上異なっている。だがこの2つは同じマップを表している。（同じsvalである、と言ってしまうと語弊がある。）		同じサブグループを異なった基底で使うことができる――例えば、2.3.21 {{val\| 12 19 53 }}、これは 2.3.21 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルである。サブグループとして 2.3.21 と 2.3.7 は同じものであるが、基底が異なることによりsvalも見た目上異なっている。だがこの2つは同じマップを表している。（同じsvalである、と言ってしまうと語弊がある。）

	<!--Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}. すぐ上で2.3.21を例にしてしまっているので -->		<!--Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}. すぐ上で2.3.21を例にしてしまっているので -->
Line 83:		Line 83:
	⟨13, 41, 30\|2^-4, 9^2, 5^-1⟩ = 13-4 + 412 + 30*-1 = 0.		⟨13, 41, 30\|2^-4, 9^2, 5^-1⟩ = 13-4 + 412 + 30*-1 = 0.

	== ~~Vals in regular temperaments~~ ==		== レギュラーテンペラメントにおけるヴァル ==
	{{Main\| Tmonzos and tvals }}		{{Main\| Tmonzos and tvals }}

	~~There is also a notion of a ''tempered val'' on a group of ''tempered monzos'', representing intervals in some [[regular temperament]]. These names are sometimes abbreviated as~~ ''tval'' ~~and~~ ''tmonzo'', respectively. Typically, this is made explicit by writing the generators beforehand. When the tempered intervals have accepted names, such as in [[meantone]], we can use names like ''P8'' and ''P5'', so that the tval P8.P5 {{val\| 12 7 }} represents the 12edo "patent tval" in meantone (given that particular basis). If the intervals do not have names, a [[transversal]] can be given instead, preceded with the temperament name, so that we have (meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}~~, or~~ (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }}.		テンパードモンゾに対するテンパードヴァルを書くこともできる。テンパードモンゾは何かのレギュラーテンペラメント上の音程を表す（コンマポンプをJIの音程で書いたら表記上コンマポンプが出現し簡潔に書けなくなっていく。テンペラメントごとに音程表記を考える動機になる）。これらは''tval''と''tmonzo''とも呼ばれる。典型的には、これは先頭にジェネレーターを書くことで明確化される。ミーントーンのようにテンペラメント上の音程に名前がついていれば、それらを使ってtvalを P8.P5 {{val\| 12 7 }} （ミーントーンを12平均律チューニングにマップするpatent tval）のように書ける。音程に名前がないなら代わりに代表的なJI音程を使い、テンペラメント名も併記する。(meantone) 2.3/2 {{val\| 12 7 }}、や (meantone) 2.3/2 {{val\| 31 18 }} のように。

	== Vals vs. mappings ==		== Vals vs. mappings ==

	~~A val is more specific than a mapping, both as in the general mathematical sense as well as [[mapping\|the regular temperament sense]]:~~		ヴァルはマッピングより具体的な概念である。数学的な意味でもRTT的な意味でも。
	# A val can be thought of as a mapping with one row. Put another way, the rows of mappings are vals. To be mathematically precise, a val is a specific type of [[Wikipedia:Linear_map\|(linear) mapping]] called a [[Wikipedia:~~Linear_form\|"linear form", or "linear functional"]], which means that its output is a [[Wikipedia~~:~~Scalar_(mathematics)\|scalar~~]]~~, or in other words, a single number. This corresponds to the fact that a val must be a 1xM array of numbers, or in other words a~~ [[Wikipedia:~~Vector_(mathematics_and_physics)\|vector]] (specifically a [[Wikipedia~~:~~Row_and_column_vectors\|row vector~~]]~~, AKA covector).~~		# ヴァルは 1 行だけのマッピングである。マッピングの各行はヴァルであるともいえる。数学的に正確に言うと、ヴァルは[[Wikipedia:ja:線型写像]]の一種で[[Wikipedia:ja:線型汎函数]]であり、出力がスカラーになるものである。モンゾと内積をとることでスカラーが得られる余ベクトルである。
	# ~~Vals must have only integer entries (when expressed in the standard, non-weighted coordinate basis).~~		# ヴァルの各項は整数に限る。（出力がステップ数でないもの等はmapと呼び分ける）
	# ~~Being short for~~ "[[Wikipedia:~~Valuation_(algebra)\|valuation~~]]~~", a val is a formal linear sum of~~ [[Wikipedia:~~P-adic_order~~\|p-~~adic valuations~~]].		# ヴァルは "valuation" （[[Wikipedia:ja:付値]]）の略であり、[[Wikipedia:ja:p進付値\|''p''-進付値]]の線型結合である。

	~~In practice, most single-row mappings in RTT are vals, because we usually deal with integer entries, and the other specifications only mean anything to advanced mathematicians.~~		実用上は、RTTにおいて大体の 1 行だけのマッピングはヴァルである。それ以外の状況（重み付き座標系など）は数学者に任せましょう。

	== See also ==		== See also ==

Dummy index at 13:35, 13 April 2024

2024-04-13T13:35:27Z

← Older revision		Revision as of 13:35, 13 April 2024
Line 13:		Line 13:
	ヴァルは通常、{{val\| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。		ヴァルは通常、{{val\| ''a b c d e f'' … }} のように記述される。ここでスペースで区切られた項はそれぞれ 2, 3, 5, 7, 11, 13… のように素数に対応している。最後の最大の素数が [[リミット]] ''p'' となる。

	Vals are important in regular temperament theory because they provide a way to mathematically formalize how, specifically, the intervals in a random chain of generators are viewed as the tempered versions of more fundamental just intonation intervals. They can also be viewed as a way to map JI "onto" the chain, imbuing it with a harmonic context. Vals will enable you to figure out what commas your temperament eliminates, what [[comma pump]]s are available in the temperament, what the most consonant chords in the temperament are, how to optimize the octave stretch of the temperament to minimize tuning error, what EDOs support your temperament, and other operations as of yet undiscovered.		<!-- Vals are important in regular temperament theory because they provide a way to mathematically formalize how, specifically, the intervals in a random chain of generators are viewed as the tempered versions of more fundamental just intonation intervals. They can also be viewed as a way to map JI "onto" the chain, imbuing it with a harmonic context. Vals will enable you to figure out what commas your temperament eliminates, what [[comma pump]]s are available in the temperament, what the most consonant chords in the temperament are, how to optimize the octave stretch of the temperament to minimize tuning error, what EDOs support your temperament, and other operations as of yet undiscovered.

	For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]].		For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]]. definitionの節なのにintroductionみたい、と思ったら -->

	== EDO の例 ==		== EDO の例 ==
Line 30:		Line 30:
	'''warts'''とも呼ばれる記法。[[Herman Miller]]と[[Graham Breed]]によって開発された。		'''warts'''とも呼ばれる記法。[[Herman Miller]]と[[Graham Breed]]によって開発された。

	~~Given an explicit or assumed limit, any~~ [[~~patent val~~]] ~~can simply be represented by stating its first coefficient – the digit representing how many generators map to 2~~/1~~. For example, the 5-limit patent val for 17edo,~~ {{val\| 17 27 39 }}~~, can be called simply, "17".~~		この記法ではリミットについて別途記述が必要である。指定されたリミットにおいて、[[特徴的なヴァル\|パテントヴァル]]は単純に先頭の数値（2/1 は何ステップか）で表される。例えば、17平均律の5リミットでのパテントヴァルである {{val\| 17 27 39 }} は、17 と書ける。

	The patent val for any edo will use the most accurate mapping for each individual prime when pure octaves are assumed. However, it may often be the case that one wants to refer to vals other than the patent val. For example, the 5-limit val {{val\| 17 27 40 }}~~, which maps the~~ 5/4 ~~to the~~ 424~~-cent interval rather than the 353-cent interval, is not the patent val for 17edo but may be preferred because it is lower in overall error. Nonpatent vals are specified by adding a~~ ''wart'' ~~to the end of their name which specifies their deviation from the patent val. In this case, we want to specify that the 5~~/1 ~~has been changed to use its second-most accurate mapping. Since 5 is the third prime number, we add the third letter of the alphabet to the end of the edo number, to form "17c".~~		任意のEDOのパテントヴァルは（EDOのOが純オクターブだとして）それぞれの素数音程が最も正確にマッピングされるステップ数を並べたものである。しかしながら、それ以外のステップ数を使いたい場合がよくある。例えば、5リミットのヴァル {{val\| 17 27 40 }} は 5/4 を 353 セントではなく 424 セントにマップする。これは17平均律のパテントヴァルではないが、6/5 などほかの音程のマッピングが改善し全体のエラーが小さくなるため好まれる。非パテントヴァルは''wart''を末尾に付加することで特定される。wartはパテントヴァルからの偏りを示す。この場合では、5/1 を 2 番目に正確なステップ数にマッピングすることを指定したい。5 は 3 番目の素数なので、3 番目のアルファベットをオクターブ分割数の後ろに書いて、17c となる。

	~~If we wanted to use the third-most accurate mapping for~~ 5, {{val\| 17 27 38 }}, ~~we would write "17cc". In [[17edo]]~~, ~~the approximation of the prime-5 component is raised for an odd~~, ~~and lowered for an even~~, ~~amount of c letters~~: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = ~~37.~~		もし 5/1 を 3 番目に正確なステップ数にマッピングし、{{val\| 17 27 38 }} とするなら、17cc となる。17平均律の場合、5 の成分の近似ステップ数は近い順に 39, 40, 38, 41, 37, …となり、偶数個のcは小さい近似、奇数個のcは大きい近似となる: <code></code> = 39, <code>c</code> = 40, <code>cc</code> = 38, <code>ccc</code> = 41, <code>cccc</code> = 37。（ほかの平均律やほかの成分では逆になる場合もあるということ。）

	The general rules:		The general rules:
Line 68:		Line 68:
	The 2022 version used a plus sign (+) in place of the caret and a minus sign (-) in place of the vee.		The 2022 version used a plus sign (+) in place of the caret and a minus sign (-) in place of the vee.

	== ~~Vals in JI subgroups~~ ==		== 純正律サブグループにおけるヴァル ==
	~~We can generalize the concept of monzos and vals from the~~ ''p''-~~limit to other~~ [[~~JI subgroup~~]]~~s. This can be useful when considering different edo tunings of~~ [[subgroup temperaments]]. [[Gene Ward Smith]] ~~called these~~ "[[sval]]s" ~~for short.~~		モンゾとヴァルのコンセプトを''p''-リミットではない[[純正律サブグループ]]に一般化することができる。[[subgroup temperaments]]に対する複数の平均律チューニングを取り扱う場合に有用である。[[Gene Ward Smith]]がこれらを短く "[[sval]]s" と呼んだ。

	~~To notate a subgroup val, we typically precede the "bra" notation with an indicator regarding the subgroup (and choice of basis). For instance, the patent val for 12 equal on the 2~~.3.7 ~~subgroup is often notated "2~~.3.7 {{val\|12 19 34}}~~". If the subgroup indicator isn~~'t present, the subgroup can be inferred from context. It is very typical for a val with no explicit subgroup indicator to be interpreted as representing some prime limit, e.g. {{val\| a b c }} would represent a 5-~~limit val.~~		サブグループヴァルを書くには、典型的には、ブラ記法の前にサブグループ（基底とその順番も含めて）を明示する。例として、2.3.7 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルは、2.3.7 {{val\|12 19 34}} と書かれる。サブグループが文脈で明らかなら改めて書かなくてもよいが、サブグループ記述子がないヴァルは何らかの''p''-リミットのヴァルであると思われがちなので注意すること。

	~~Note that we could, for instance, use a different basis for the same subgroup - for instance, we could instead write "2~~.3.21 {{val\| 12 19 43 }}~~", which is the 12 equal patent val in the "~~2.3.21~~" subgroup. Since the "~~2.3.21~~" subgroup is the same as the "~~2.3.7" subgroup, just written with a different basis, these two apparently "different" svals represent the same map from this subgroup to a rank-1 generator chain. (It is a matter of semantics if these are thought of as "different" svals or "the same sval" written using a different basis.)		同じサブグループを異なった基底で使うことができる――例えば、2.3.21 {{val\| 12 19 43 }}、これは 2.3.21 サブグループにおける12平均律のパテントヴァルである。サブグループとして 2.3.21 と 2.3.7 は同じものであるが、基底が異なることによりsvalも見た目上異なっている。だがこの2つは同じマップを表している。（同じsvalである、と言ってしまうと語弊がある。）

	Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}.		<!--Svals can also be written using subgroups that don't involve primes, e.g. 2.3.7.13/5 {{val\| 46 73 129 63 }}. すぐ上で2.3.21を例にしてしまっているので -->

	~~Note that the notion of a "patent val" for a subgroup val may not agree with the patent val on a prime limit. For instance,~~ [[~~13edo~~]]~~'s "~~2.9.5 ~~[[patent val]]" can be written as "2~~.9.5 {{val\| 13 41 30 }}~~, because the best approximation to 2 is 13 steps, the best approximation to 9 is~~ 41 ~~steps, and the best approximation to 5 is 30 steps. Note that, however, the patent val on the 2~~.3.5 ~~subgroup instead maps~~ 3/1 to 21 ~~steps, so that the "induced 9" from the 2~~.3.5 ~~patent val is not the same as the "direct~~ 9~~" from the 2~~.9.5 ~~patent val.~~		サブグループのパテントヴァルは''p''-リミットのパテントヴァルと一致しないことがある。例えば、[[13平均律]]の 2.9.5 のパテントヴァルは、2.9.5 {{val\| 13 41 30 }} と書け、9/1 が 41 ステップとなるが、2.3.5 サブグループ（＝5リミット）のパテントヴァルは 3/1 を 21 ステップにマップする。2.3.5 パテントヴァルから誘導された 9/1 は、2.9.5 パテントヴァルで直接近似された 9/1 と同じにならない。

	~~This notation is also used for subgroup monzos; e~~.g. [[81/80]] ~~on the 2.9.5 subgroup is "2~~.9.5 {{monzo\| -4 2 -1 }}~~", and it is thus easy to see that the~~ 2.9.5 ~~13p val above makes~~ 81/80 ~~[[vanish]]~~:		この記法はサブグループモンゾでも同様である。2.9.5 サブグループにおける [[81/80]] は、2.9.5 {{monzo\| -4 2 -1 }} と書かれ、上記の 2.9.5 13平均律パテントヴァルで 81/80 がテンパーアウトされることが簡単に確かめられる:

	⟨13, 41, 30\|2^-4, 9^2, 5^-1⟩ = 13-4 + 412 + 30*-1 = 0.		⟨13, 41, 30\|2^-4, 9^2, 5^-1⟩ = 13-4 + 412 + 30*-1 = 0.

Dummy index at 07:26, 13 April 2024

2024-04-13T07:26:22Z

← Older revision		Revision as of 07:26, 13 April 2024
Line 6:		Line 6:
	}}		}}
	{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}		{{Beginner-ja\|ヴァルと調律空間}}
	'''ヴァル''' は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するするのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。		'''ヴァル''' は音程をジェネレーターの連鎖の上で（つまり[[平均律]]上で）考える方法を表した線形写像である。これにより、[[純正律]]の音程が平均律で近似される。EDOとJIの間をつなげ、[[レギュラーテンペラメント]]のすべての基礎といえるものである。通常ヴァルはEDOを参照するのに使われる。それが大きいジェネレーター（ミーントーンの5度のような）の積み重ねとJIとの関係をも示していることは気に留めておいてほしい。

	== 定義 ==		== 定義 ==
Line 19:		Line 19:
	== EDO の例 ==		== EDO の例 ==

	5リミットのヴァルとして{{val\| 12 19 28 }}を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは ~~12edo~~ である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。		5リミットのヴァルとして {{val\| 12 19 28 }} を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは[[12平均律]]である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。

	~~さて、この 12edo を7リミットに拡張することを想定する。もし 12edo の~~ 10 ステップ (1000 セント) がテンパーされた 7/4 を表すという態度をとるなら、7/1 は、7/4 ~~にオクターブを2個重ねたものだが、それは10ステップ＋12ステップ＋12ステップ＝34ステップと等しくなる。この議論はしたがって、7リミットの~~{{val\| 12 19 28 34 }}と表現できる。		さて、この12平均律を7リミットに拡張することを想定する。もし12平均律の 10 ステップ (1000 セント) がテンパーされた 7/4 (本来は 968.83 セント) を表すという態度をとるなら、7/1 は、7/4 にオクターブを 2 個重ねたものだが、それは 10 ステップ＋ 12 ステップ＋ 12 ステップ＝ 34 ステップと等しくなる。この議論はしたがって、7リミットの {{val\| 12 19 28 34 }} と表現できる。

	もし何か奇妙な理由で 7/4 を 900 セントだということにするなら、それは{{val\| 12 19 28 33 }}と表現されるし、7/4 を 123000 セントだとしたいなら、それは{{val\| 12 19 28 1254 }}と表現される。		もし何か奇妙な理由で 7/4 を 900 セントだということにするなら、それは {{val\| 12 19 28 33 }} と表現されるし、7/4 を 123000 セントだとしたいなら、それは {{val\| 12 19 28 1254 }} と表現される。

	== ~~Shorthand~~ notation ==		== 短縮記法 ==
	~~This is also known as~~ '''warts''' ~~or '''wart notation'''. It was developed by~~ [[Herman Miller]] ~~and~~ [[Graham Breed]].		=== Wart notation ===

			'''warts'''とも呼ばれる記法。[[Herman Miller]]と[[Graham Breed]]によって開発された。

	Given an explicit or assumed limit, any [[patent val]] can simply be represented by stating its first coefficient – the digit representing how many generators map to 2/1. For example, the 5-limit patent val for 17edo, {{val\| 17 27 39 }}, can be called simply, "17".		Given an explicit or assumed limit, any [[patent val]] can simply be represented by stating its first coefficient – the digit representing how many generators map to 2/1. For example, the 5-limit patent val for 17edo, {{val\| 17 27 39 }}, can be called simply, "17".

Dummy index at 14:12, 10 April 2024

2024-04-10T14:12:29Z

← Older revision		Revision as of 14:12, 10 April 2024
Line 17:		Line 17:
	For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]].		For a more mathematically intensive introduction to vals, see [[Vals and tuning space]]. For the characterization of higher-rank temperaments, see [[Mapping]].

	== ~~Example~~ EDO ==		== EDO の例 ==

	~~Consider the 5-limit val~~ {{val\| 12 19 28 }}~~. This val tells us that you should view 12 generator steps as mapping to the octave 2~~/1~~. Since the temperament which maps~~ 12 ~~generator steps to the octave is~~ 12edo~~, this means you're describing 12edo.~~		5リミットのヴァルとして{{val\| 12 19 28 }}を考える。このヴァルは、2/1 つまりオクターブに対するマッピングが 12 ステップであることを述べている。オクターブを 12 ステップにマップするテンペラメントは 12edo である。また、2/1 だけではなく、19 ステップがテンパーされた 3/1 を表し、28 ステップがテンパーされた 5/1 を表すことを明示的に述べている。

	~~The val~~ {{val\| 12 19 28 }}~~, in addition to saying that 12 steps of 12-equal represents 2/1, also states explicitly that 19 steps of 12-equal represents a tempered 3/1, and 28 steps of 12-equal represents a tempered 5/1.~~		さて、この 12edo を7リミットに拡張することを想定する。もし 12edo の 10 ステップ (1000 セント) がテンパーされた 7/4 を表すという態度をとるなら、7/1 は、7/4 にオクターブを2個重ねたものだが、それは10ステップ＋12ステップ＋12ステップ＝34ステップと等しくなる。この議論はしたがって、7リミットの{{val\| 12 19 28 34 }}と表現できる。

	Now assume you'd like to extend 12edo into the 7-limit. If you would like to assume the perspective that the 10 step interval in 12-equal (representing 1000 cents) is a very tempered 7/4, then that means that 7/1, which is 7/4 ~~with two octaves stacked on top, is equal to 10 steps + 12 steps + 12 steps = 34 steps. This decision can hence be represented by using the 7-limit {{val\| 12 19 28 34 }} val.~~		もし何か奇妙な理由で 7/4 を 900 セントだということにするなら、それは{{val\| 12 19 28 33 }}と表現されるし、7/4 を 123000 セントだとしたいなら、それは{{val\| 12 19 28 1254 }}と表現される。

	~~If for some strange reason you'd instead like to say that~~ 900 ~~cents is 7/4, then that would be represented by the~~ {{val\| 12 19 28 33 }} ~~val, and if you'd like to say that 123000 cents is 7~~/4~~, that would be represented by the~~ {{val\| 12 19 28 1254 }} ~~val.~~

	== Shorthand notation ==		== Shorthand notation ==