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	~~{{delete}}{{Wikipedia\|ja:限界 (音楽)}}~~		#REDIRECT [[アドリミット]]

	~~== 定義 ==~~
	~~{{odd-limit navigation}}~~

	'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けが難しいのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->

	アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	~~アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''~~[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』-アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

	例として、5アドリミットは{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

	結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。

	~~== 数学的定義 ==~~

	q を正の奇数として、q-アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]と同一視されることがある。例：9アドリミットに含まれる<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

	~~== 特定の周波数比についてのアドリミット ==~~

	上述の定義から、3/2 は3アドリミットに含まれるだけではなく、5アドリミット、7アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。

	ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。

	~~This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.~~

	~~== 他のリミット系指標との関係 ==~~

	周波数比の'''integer limit'''は単純に分母と分子のうち大きい方であるが、前提として周波数比が 1 以上ということにすれば常に分子の値となる。integer limitはより直接的に周波数比の複雑度を反映する。しかしアドリミットのほうがずっと広く使われているのは、integer limitが音程のオクターブに影響されてしまうためである。ある音程の全てのオクターブ移調を考え、それぞれのinteger limitを求めると、それらのうち最小のものがアドリミットと一致する。例えば 12/7 のinteger limitは12であるが、1オクターブ上げて発声すると 24/7 となりinteger limitは 24 となる。7/6 と 7/3 のinteger limitはどちらも 7 となりアドリミットと一致する。なのでアドリミットはinteger limitのベストケースでの値であると考えることができる。アドリミットはオクターブ等価性を前提にした複雑度指標である。

	アドリミットをコードに適用する2つの方法がある。'''intervallic limit'''はコードに含まれる音程のアドリミットの最大のものとして定義される。例：三和音 10:12:15 は 6/5, 5/4, 3/2 の3つの音程を含む。それぞれのアドリミットは 5, 5, 3 となるので、intervallic limitは 5 となる。

	'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

	intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きだと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

	~~== 関連項目 ==~~
	* [[p-limit]] - or prime [[harmonic limit]]


	~~[[Category:Japanese-language pages~~]]

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	{{Wikipedia\|ja:限界 (音楽)}}		{{delete}}{{Wikipedia\|ja:限界 (音楽)}}

	== 定義 ==		== 定義 ==

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	{{Wikipedia\|ja:限界 (音楽)}}		{{Wikipedia\|ja:限界 (音楽)}}

	~~(under construction)~~

	== 定義 ==		== 定義 ==
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	アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[~~Tonality~~ diamond~~\|Tonality Diamonds~~]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。		アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

	例として、5 アドリミットは{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。		例として、5 アドリミットは{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

	結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと~~[[Prime limit\|~~'''prime limit''']]がある。		結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。

	== 数学的定義 ==		== 数学的定義 ==
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	'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。		'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

	intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 ~~の和音はどちらも~~ 5 ~~何々リミットとなるが、10~~:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。		intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

	== See also ==		== See also ==

Dummy index at 12:40, 3 May 2023

2023-05-03T12:40:25Z

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	アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	~~アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる~~'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。		アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。
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	== 数学的定義 ==		== 数学的定義 ==

	q を正の奇数として、q アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]~~と同一視さることがある。例：9~~ アドリミットに含まれる<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。		q を正の奇数として、q アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]と同一視されることがある。例：9 アドリミットに含まれる<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

	== 特定の周波数比についてのアドリミット ==		== 特定の周波数比についてのアドリミット ==
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	This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.		This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.

	== ~~Relationship to other limits~~ ==		== 他のリミット系指標との関係 ==

	~~The~~ '''integer limit''' ~~of a ratio is simply the larger of the ratio's two numbers, which is always the numerator. The integer limit of~~ 12/7 is 12. The integer limit more directly reflects the complexity of the ratio. But the odd limit is far more common, because the integer limit depends on the voicing of the interval, and the odd limit does not. For example, 12/7 voiced an octave wider is 24/7~~, integer limit~~ 24~~. Consider all possible voicings of an interval, and the integer limit of each one. The smallest of all these integer limits is the odd limit. For 12/7, voicings 7~~/6 ~~and~~ 7/3 ~~both have integer limit~~ 7~~. Thus the odd limit can be thought of as the best-case-scenario integer limit. The odd limit reflects the complexity of the ratio in a context in which octave equivalence is assumed.~~		周波数比の'''integer limit'''は単純に分母と分子のうち大きい方であるが、前提として周波数比が 1 以上ということにすれば常に分子の値となる。integer limitはより直接的に周波数比の複雑度を反映する。しかしアドリミットのほうがずっと広く使われているのは、integer limitが音程のオクターブに影響されてしまうためである。ある音程の全てのオクターブ移調を考え、それぞれのinteger limitを求めると、それらのうち最小のものがアドリミットと一致する。例えば 12/7 のinteger limitは12であるが、1オクターブ上げて発声すると 24/7 となりinteger limitは 24 となる。7/6 と 7/3 のinteger limitはどちらも 7 となりアドリミットと一致する。なのでアドリミットはinteger limitのベストケースでの値であると考えることができる。アドリミットはオクターブ等価性を前提にした複雑度指標である。

	~~Odd limit can be generalized to apply to chords in two ways. The~~ '''intervallic limit''' ~~looks at each interval of the chord, and the odd limit of that interval. The chord's odd limit is the largest of these odd limits. Example:~~ 10:12:15 ~~has component intervals~~ 6/5, 5/4 ~~and~~ 3/2~~. The intervals' odd limits are~~ 5, 5 ~~and~~ 3~~, thus the chord's intervallic limit is~~ 5.		アドリミットをコードに適用する2つの方法がある。'''intervallic limit'''はコードに含まれる音程のアドリミットの最大のものとして定義される。例：三和音 10:12:15 は 6/5, 5/4, 3/2 の3つの音程を含む。それぞれのアドリミットは 5, 5, 3 となるので、intervallic limitは 5 となる。

	~~The~~ '''otonal limit''' ~~of a chord looks at each number in the extended ratio~~ a:b:c..., and the odd limit of that number. The odd limit of a number is defined as the number itself if odd, and if even, the number divided by two until it is odd. The chord's otonal limit is the largest of these odd limits. Example: 10:12:15 ~~has numbers~~ 10, 12 ~~and~~ 15~~, the odd limits of which are~~ 5, 3 ~~and~~ 15~~, thus the chord's otonal limit is~~ 15.		'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

	~~The~~ intervallic ~~limit and the otonal limit of a ratio are both equal to the ratio's odd limit, so both are valid generalizations of odd limit. In either sense, 4~~:5:6 is 5~~-limit. Since 10~~:12:15 ~~is considered more complex than~~ 4:5:6~~, the otonal limit could be considered the more musically useful of the two.~~		intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらも 5 何々リミットとなるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

	== See also ==		== See also ==

Dummy index at 11:20, 3 May 2023

2023-05-03T11:20:00Z

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	'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けができないのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->		'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けができないのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->

	アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。アドリミットによって実現される『シンプル』の自然さはかなりのもの。因数2を取り除くことは無駄な複雑さを取り除くことだと言っていいし、定義から[[octave complement]]（長3度↔短6度など）は必ず含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい感じに鳴る（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。		アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

			例として、5 アドリミットは{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

	~~As an example, the 5-odd-~~limit ~~is the set of intervals {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}, as well as every octave transpositions of the above (e.g. 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 and so on).~~		結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと[[Prime limit\|'''prime limit''']]がある。

	As a result, the '''odd limit''' is a metric that places an upper bound on (i.e. limits) the complexity of the harmonies used in a piece of music, and hence of the music itself. Integer limit and [[Prime limit\|'''prime limit''']] are related concepts.		== 数学的定義 ==

	~~== Mathematical Definition ==~~		q を正の奇数として、q アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]と同一視さることがある。例：9 アドリミットに含まれる<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

	The '''q''' '''odd limit''', where ''q'' is an odd positive integer, consists of everything of the form <code>2^iu/v</code>, or <math>2^\mathbb Z\frac u v</math>, where ''u'' and ''v'' are odd positive integers less than or equal to q. It may be identified with the [[Tonality diamond\|q-limit diamond]]. Examples: some ratios in the 9-limit are: 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8 and 14/9. But not 11/9 (11 is a prime greater than 9) nor 15/7 (since 15 is 35, both less then 9, but with product greater than 9).		== 特定の周波数比についてのアドリミット ==

	~~== Odd limit of a ratio ==~~		上述の定義から、3/2 は 3 アドリミットに含まれるだけではなく、5 アドリミット、7 アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。

	~~From the definition above, we can see that an interval like 3/~~2 is not only part of the 3-odd-limit, but also the 5-odd-limit, the 7-odd-limit, and so on. However, it is also useful to refer to the smallest such odd limit that some interval fits into. This is often simply just called the "odd limit" of the ratio.		ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。

	~~To find the odd limit of a ratio: If either the numerator or the denominator is even, divide it by two until it is odd. The larger of the two numbers is the odd limit. Example: 12~~/7 ~~becomes~~ 3/7~~, and~~ 7 ~~> 3, thus the odd limit is~~ 7.

	This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.		This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.

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	'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--~~日本語だとOdd~~ limitとan odd-limitの書き分けができないのでOdd ~~limitを説明するような書き方にしました~~-->		'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けができないのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->

	アドリミットは、周波数比の分母と分子から2の因数を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--~~octave~~-~~reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが~~-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond\|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	The purpose of an odd-limit or tonality diamond is to provide a "simple" subset of JI intervals to play, given one particularly natural definition of "simple." The removal of powers of 2 makes it so that for any interval that is viewed as "simple enough," the set of all its octave transpositions is also included in the set. Increasing the cutoff number increases the set of ratios viewed as being "simple enough" to be in the set. These are musically useful because such intervals will often tend to be play nicely with one another when forming chords (or at least, more so than some random JI intervals).		アドリミットあるいはTonality Diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。アドリミットによって実現される『シンプル』の自然さはかなりのもの。因数2を取り除くことは無駄な複雑さを取り除くことだと言っていいし、定義から[[octave complement]]（長3度↔短6度など）は必ず含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい感じに鳴る（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。


	As an example, the 5-odd-limit is the set of intervals {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}, as well as every octave transpositions of the above (e.g. 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 and so on).		As an example, the 5-odd-limit is the set of intervals {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}, as well as every octave transpositions of the above (e.g. 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 and so on).

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== 定義 ==
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'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。

アドリミットは、周波数比の分母と分子から2の因数を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

アドリミットはまあおおよそハリー・パーチによる'''[[Tonality diamond|Tonality Diamonds]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてTonality Diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit Tonality Diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいTonality Diamondが大きいTonality Diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

The purpose of an odd-limit or tonality diamond is to provide a "simple" subset of JI intervals to play, given one particularly natural definition of "simple." The removal of powers of 2 makes it so that for any interval that is viewed as "simple enough," the set of all its octave transpositions is also included in the set. Increasing the cutoff number increases the set of ratios viewed as being "simple enough" to be in the set. These are musically useful because such intervals will often tend to be play nicely with one another when forming chords (or at least, more so than some random JI intervals).

As an example, the 5-odd-limit is the set of intervals {1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}, as well as every octave transpositions of the above (e.g. 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 and so on).

As a result, the '''odd limit''' is a metric that places an upper bound on (i.e. limits) the complexity of the harmonies used in a piece of music, and hence of the music itself. Integer limit and [[Prime limit|'''prime limit''']] are related concepts.

== Mathematical Definition ==

The '''q''' '''odd limit''', where ''q'' is an odd positive integer, consists of everything of the form <code>2^i*u/v</code>, or <math>2^\mathbb Z\frac u v</math>, where ''u'' and ''v'' are odd positive integers less than or equal to q. It may be identified with the [[Tonality diamond|q-limit diamond]]. Examples: some ratios in the 9-limit are: 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8 and 14/9. But not 11/9 (11 is a prime greater than 9) nor 15/7 (since 15 is 3*5, both less then 9, but with product greater than 9).

== Odd limit of a ratio ==

From the definition above, we can see that an interval like 3/2 is not only part of the 3-odd-limit, but also the 5-odd-limit, the 7-odd-limit, and so on. However, it is also useful to refer to the *smallest* such odd limit that some interval fits into. This is often simply just called the "odd limit" of the ratio.

To find the odd limit of a ratio: If either the numerator or the denominator is even, divide it by two until it is odd. The larger of the two numbers is the odd limit. Example: 12/7 becomes 3/7, and 7 > 3, thus the odd limit is 7.

This is also called the [[Kees expressibility]] of the interval, named after Kees van Prooijen who showed what this metric looks like geometrically on the lattice.

== Relationship to other limits ==

The '''integer limit''' of a ratio is simply the larger of the ratio's two numbers, which is always the numerator. The integer limit of 12/7 is 12. The integer limit more directly reflects the complexity of the ratio. But the odd limit is far more common, because the integer limit depends on the voicing of the interval, and the odd limit does not. For example, 12/7 voiced an octave wider is 24/7, integer limit 24. Consider all possible voicings of an interval, and the integer limit of each one. The smallest of all these integer limits is the odd limit. For 12/7, voicings 7/6 and 7/3 both have integer limit 7. Thus the odd limit can be thought of as the best-case-scenario integer limit. The odd limit reflects the complexity of the ratio in a context in which octave equivalence is assumed.

Odd limit can be generalized to apply to chords in two ways. The '''intervallic limit''' looks at each interval of the chord, and the odd limit of that interval. The chord's odd limit is the largest of these odd limits. Example: 10:12:15 has component intervals 6/5, 5/4 and 3/2. The intervals' odd limits are 5, 5 and 3, thus the chord's intervallic limit is 5.

The '''otonal limit''' of a chord looks at each number in the extended ratio a:b:c..., and the odd limit of that number. The odd limit of a number is defined as the number itself if odd, and if even, the number divided by two until it is odd. The chord's otonal limit is the largest of these odd limits. Example: 10:12:15 has numbers 10, 12 and 15, the odd limits of which are 5, 3 and 15, thus the chord's otonal limit is 15.

The intervallic limit and the otonal limit of a ratio are both equal to the ratio's odd limit, so both are valid generalizations of odd limit. In either sense, 4:5:6 is 5-limit. Since 10:12:15 is considered more complex than 4:5:6, the otonal limit could be considered the more musically useful of the two.

== See also ==
* [[p-limit]] - or prime [[harmonic limit]]

[[Category:Japanese-language pages]]

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	'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-~~limitの書き分けができないのでOdd~~ limitを説明するような書き方にしました）-->		'''アドリミット''' (odd-limit) は2つの意味を持つ。1つは純正音程（周波数比）の集合のシリーズである。もう1つ（後述）は任意のある純正音程（周波数比）に対しその特徴を取り出す関数である。<!--（日本語だとOdd limitとan odd-limitの書き分けが難しいのでOdd limitを説明するような書き方にしました）-->

	アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）--> 1 アドリミット、3 アドリミット、5 アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。		アドリミットは、周波数比の分母と分子から因数2を除去（奇数になるまで2で割る）した上でそれらが（つまり分母と分子どちらも）ある値以下になる周波数比を集めた集合である。必然的にこのある値は正の奇数を挙げれば分別に十分となる。含まれる周波数比が少ない方から<!--（octave-reductionしないと1個目からすでに可算無限であるが）-->1アドリミット、3アドリミット、5アドリミット、…とそれぞれの集合が定義される。この列において左にある集合は右にある集合の部分集合となる。

	アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。		アドリミットはおおよそハリー・パーチによる'''[[tonality diamond]]'''と同じものである。正確に言うなら、特定のアドリミットに対する特定の幾何学的表現としてtonality diamondを見ることができる。この2つの用語はしばしば一緒に使われる（e.g., the 11-odd-limit tonality diamond）。アドリミットの集合の階層性を、小さいtonality diamondが大きいtonality diamondに埋め込まれていることをもって可視化することができる。

	アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。		アドリミットあるいはtonality diamondの目的は、純正音程の『シンプル』なサブセットを提供することである。因数2を取り除くことは任意の音程の十分シンプルな姿を見せることであり、オクターブ移調の関係にある音程は全て同様に含まれることになる。しきい値（『q』-アドリミット）を増加させるにつれ『シンプル』とみなされる音程が増える。これらの性質は音楽的に有用である；このような音程を組み合わせてコードにした場合にしばしばいい結果を生む（少なくとも、無秩序に純正音程を組み合わせた場合に比べて）。

	~~例として、5 アドリミットは~~{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。		例として、5アドリミットは{1/1, 3/1, 1/3, 5/1, 1/5, 5/3, 3/5}という集合と書かれるが、実際にはそれぞれのオクターブ移調の音程も含んだものである（例えば 2/1, 4/1, 3/2, 6/1, 5/4 等々）。

	結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。		結果として、アドリミットは音楽で使用されるハーモニーの複雑度の上限を与える指標となる。関連する概念としてinteger limitと'''[[prime limit]]'''がある。
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	== 数学的定義 ==		== 数学的定義 ==

	q を正の奇数として、q アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]~~と同一視されることがある。例：9 アドリミットに含まれる~~<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。		q を正の奇数として、q-アドリミットとは、i を整数、u と v を q 以下の正の奇数として<code>2^iu/v</code>で表される全ての周波数比の集合である。それは[[Tonality diamond\|q-limit diamond]]と同一視されることがある。例：9アドリミットに含まれる<!--（9アドリミットの比の例と書くと次項と区別がつきにくくなる）-->周波数比としては 3/2, 5/4, 7/6, 10/7, 12/7, 9/8, 14/9 などがあるが、 11/9 (既約でかつ 11 ＞ 9) や 15/7 (15 は 35 なので5-limitに入るが、それはそれとして、既約でかつ 15 ＞ 9)　は含まれない。

	== 特定の周波数比についてのアドリミット ==		== 特定の周波数比についてのアドリミット ==

	上述の定義から、3/2 ~~は 3 アドリミットに含まれるだけではなく、5 アドリミット、7 アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む~~最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。		上述の定義から、3/2 は3アドリミットに含まれるだけではなく、5アドリミット、7アドリミット、…に含まれることがわかる。しかしながら、当該の音程を含む最小のアドリミットを参照することも有用である。これはしばしば単に『（周波数比）のアドリミット』と呼ばれる。

	ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。		ある周波数比のアドリミットを求める方法：まず既約であるとする。もし分母あるいは分子が偶数だった場合、それを奇数になるまで繰り返し 2 で割る。割った後の分母と分子のうち大きい方がアドリミットである。例：12/7 から2の因子を取り除いて 3/7 、7 のほうが大きいので 12/7 のアドリミットは 7 である。
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	'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。		'''otonal limit'''はコードの整数比 a:b:c:... をそのまま複数の分子と見てアドリミットを計算し最大のものを取る。例：三和音 10:12:15 は 10(/1), 12(/1), 15(/1) とみなし、それぞれのアドリミットは 5, 3, 15 となるので、otonal limitは 15 となる。

	intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 ~~より複雑な響きと考えられているので、otonal~~ limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。		intervallic limitとotonal limitを二和音(dyad)、つまり音程(interval)に適用すると単にアドリミットと同じになる。このため両方ともアドリミットの一般化となっている。4:5:6 の和音はどちらのリミットでも 5 となるが、10:12:15 の和音は 4:5:6 より複雑な響きだと考えられているので、otonal limitのほうが有用な指標と言えるかもしれない。

	== ~~See also~~ ==		== 関連項目 ==
	* [[p-limit]] - or prime [[harmonic limit]]		* [[p-limit]] - or prime [[harmonic limit]]


	[[Category:Japanese-language pages]]		[[Category:Japanese-language pages]]