純正律サブグループ
定義
純正律サブグループ、あるいは純正律部分群は、有限個の有理数から任意の乗算と除算によって生成されるアーベル群（Wikipedia）である。どんな群も、部分群の素数リミットをpとすると、その最小値のためのp-リミット群に含まれる。
注意深く純正律サブグループを検討するのは、議題の群が、完全なp-リミット群ではないときだけである。そのような部分群は、有限なインデックス（index）と無限のインデックスの2つで、直感的に話される。そのインデックスは、完全なp-リミットグループの中で、部分群の関連あるサイズを計算する。たとえば、4と3、2と9、4と6で生成された部分群は、完全なピタゴラスの3リミットの中でインデックス2を持つ。3リミットが作る音程の半分は、それらのどれか1つに所属し、そして半分は所属せず、そしてすべての3つの群は異なっている。一方、2と3と7で生成された部分群は、2と3と5と7で生成される完全な7リミット群の無限インデックスを作る。そのインデックスは、マトリックスの決定要因から計算される。マトリックスは生成元のモンゾの列を持つ。
純正律部分群に使用するネーミングシステムの原則は、標準音程リストを部分群の生成元に適用することである。それはまた、リストにおける生成元の数による群の階数を与える。下により興味深い部分群システムを示す。もしシステムによって音階が与えられるなら、それは音階の音で生成された部分群を示す。純正律部分群は生成元の間のドッツのリスト化によって述べられる。ドッツを使うことの目的は、部分群を参照するという事実のフラグ化である。このネーミングの慣習は以下に従事する。
7-リミット部分群
2.3.7
これは次のような意味である。7リミット純正律のサブグループの1つである2.3.7は、2と3と7で作られる周波数比を示す。たとえば7:6や14:9、8:7などである。これらは5:4や13:11を含まない。そしてこれが発生する平均律は、5、31、36、135、571平均律である。
Ets: 5, 31, 36, 135, 571
アーチタス・ダイアトニック（Archytas Diatonic）[8/7, 32/27, 4/3, 3/2, 12/7, 16/9, 2/1]
サフィ・アルディン・セプティマル（Safi al-Din Septimal）[8/7, 9/7, 4/3, 32/21, 12/7, 16/9, 2/1]
2.5.7
Ets: 6, 25, 31, 171, 239, 379, 410, 789
2.3.7/5
Ets: 10, 29, 31, 41, 70, 171, 241, 412
2.5/3.7
Ets: 12, 15, 42, 57, 270, 327
2.5.7/3
Ets: 9, 31, 40, 50, 81, 90, 171, 261
2.5/3.7/3
Ets: 27, 68, 72, 99, 171, 517
2.27/25.7/3
Ets: 9
事実上、9平均律と同等で、[27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27, 2]によって与えられる7リミットバージョンを持つ。
2.9/5.9/7
Ets: 6, 21, 27, 33, 105, 138, 171, 1848, 2019, 2190, 2361, 2532, 2703, 2874, 3045, 3216, 3387, 3558
テレイン・テンペラメント（Terrain temperament ）・サブグループ
11-リミット部分群
2.3.11
Ets: 7, 15, 17, 24, 159, 494, 518, 653
Zalzal, al-Farabi's version [9/8, 27/22, 4/3, 3/2, 18/11, 16/9, 2/1]
2.5.11
Ets: 6, 7, 9, 13, 15, 22, 37, 87, 320
2.7.11
Ets: 6, 9, 11, 20, 26, 135, 161, 296
2.3.5.11
Ets: 7, 15, 22, 31, 65, 72, 87, 270, 342, 407, 494
2.3.7.11
Ets: 9, 17, 26, 31, 41, 46, 63, 72, 135
ラドン・テンペラメント（Radon temperament）サブグループ。プトレマイオスが奮闘したクロマティック（Ptolemy Intense Chromatic）[22/21, 8/7, 4/3, 3/2, 11/7, 12/7, 2/1]から生成される。
See: Gallery of 2.3.7.11 Subgroup Scales
2.5.7.11
Ets: 6, 15, 31, 35, 37, 109, 618, 960
2.5/3.7/3.11/3
Ets: 33, 41, 49, 57, 106, 204, 253
インジウム・テンペラメント（Indium temperament）サブグループ
13-リミット部分群
2.3.13
Ets: 7, 10, 17, 60, 70, 130, 147, 277, 424
Mustaqim mode, Ibn Sina [9/8, 39/32, 4/3, 3/2, 13/8, 16/9, 2/1]
2.3.5.13
Ets: 15, 19, 34, 53, 87, 130, 140, 246, 270
The Cata, Trinidad and Parizekmic temperaments subgroup.
2.3.7.13
Ets: 10, 26, 27, 36, 77, 94, 104, 130, 234
Buzurg [14/13, 16/13, 4/3, 56/39, 3/2]
Safi al-Din tuning [8/7, 16/13, 4/3, 32/21, 64/39, 16/9, 2/1]
Ibn Sina tuning [14/13, 7/6, 4/3, 3/2, 21/13, 7/4, 2]
2.5.7.13
Ets: 7, 10, 17, 27, 37, 84, 121, 400
The Huntington temperament subgroup.
2.5.7.11.13
Ets: 6, 7, 13, 19, 25, 31, 37
The Roulette temperament subgroup
2.3.13/5
Ets: 5, 9, 14, 19, 24, 29, 53, 82, 111, 140, 251, 362
The Barbados temperament subgroup.
2.3.11/5.13/5
5, 9, 14, 19, 24, 29
The Bridgetown temperament subgroup.
2.3.11/7.13/7
Ets: 5, 7, 12, 17, 29, 46, 75, 196, 271
The Pepperoni temperament subgroup.
2.7/5.11/5.13/5
Ets: 5, 8, 21, 29, 37, 66, 169, 235
The Tridec temperament subgroup.