一貫性

ある N-edoについて、q-アドリミットに属する奇数倍音を全て最近傍の平均律音程で近似したとき、奇数倍音間の音程が全て相当する純正音程の最近傍近似になっている場合、N-edoは q-アドリミットの一貫性をもつという。例えば、 7 倍音を近似した音程と 5 倍音を近似した音程の差が 7/5 を近似した音程と一致する、というような関係が全て成立することをいう。また、更にこの最近傍近似が q-アドリミットの全ての音程をそれぞれ異なる平均律音程に割り当てる（つまり単射の）場合、distinctly consistent (aka uniquely consistent)という。例えば、7/5 と 10/7 を同一の平均律音程で近似することになる N-edoは7-odd-limitでdistinctly consistentにはならない。（ちなみにそういう N-edoの N は必ず偶数になる。）

別の言い方では、それぞれの近似音程が、元の音程の素因数分解とヴァルによって説明できるということが一貫性があるということである。

一貫性は通常何らかのアドリミットを対象範囲とするが、アドリミットの音程集合の一部分のみを対象範囲とする場合もある。これはしばしば純正律サブグループによって範囲制限される。また他の方法でも良い。例として、12平均律はno-11's, no-13's 19-odd-limitにおいて一貫性をもつ。これはつまり、 11 と 13 を飛ばして 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 19 倍音に限ると一貫性が得られるということである。

ある N-edoがコード C において一貫性がある、あるいはコード C が N-edo内で一貫性がある、という言い方ができる。これはそのコードの構成音程（根音基準）の最近傍近似がコード内の全ての音程（任意の2音間）の最近傍近似を導くことをいう。この方式では、『q-アドリミット』に相当する言い方は『コード 1:3:…:(q - 2):q』となる。

この概念は平均律のみでしか意味をなさない。オクターブに対して割り切れない音程を持つチューニングでは音程を重ねていけばいくらでも任意の純正音程に近づくことができるため、最近傍近似の意味を定めることができなくなる。

The page Minimal consistent edos shows the smallest edo that is consistent or distinctly consistent in a given odd limit while the page Consistency limits of small edos shows the largest odd limit that a given edo is consistent or distinctly consistent in.

数学的定義

N-平均律が 1 つの EDOであって、また任意の音程を r とし、『N-edo(r)』を r という音程の N-平均律による最近傍近似とする。音程の集合を S とし、S に含まれる任意の音程 r_i, r_j について r_ir_j もまた S に含まれるとき、必ず N-edo(r_ir_j) = N-edo(r_i) + N-edo(r_j) が成り立つ場合に、N-平均律が S において一貫性があるという。

例

一例として、特定のアドリミットで一貫性のない25平均律のシステムを取り上げる。

25平均律の 7/6 (the septimal subminor third、266.87 cent)のよい近似値は、6 ステップ(48*6=288 cent)である。そしてまた、3/2 (perfect fifth、702 cent、perfect fifth)は 15 ステップ(48*15=720 cent)である。2 つの純正音程を加えることは、3/2 * 7/6 = 7/4 (968.83 cent)を与える。この時、25平均律は 288+720=1008 cent(21 ステップ、48*21=1008)である。そのハーモニックセブンス 7/4 は、25平均律の良い近似値で 20 ステップ(48*20=960cent)である。しかしながら、2 つの近似音程を加えると 21 ステップを与える。これは25平均律が7アドリミットのなかで一貫性がないことを意味する。

7アドリミットで一貫性のあるシステムの例は12平均律である。3/2 は 7 ステップ、7/6 は 3 ステップ、7/4 は 10 ステップに近似され、10 ステップは 7 ステップと 3 ステップの和に一致する。12平均律はまた9アドリミットにおいても一貫性があるが11アドリミットではそうではない。

ノンオクターブスケールへの一般化

一貫性のコンセプトをノンオクターブ平均律に拡張することは可能である。オクターブ等価性を捨て、アドリミットの代わりに整数リミットを用いることになる。

Alternatively, we can use "modulo-n limit" if the equave is n/1. Thus the tritave analogue of odd limit would only allow integers not divisible by 3 below a given number, assuming tritave equivalence and tritave invertibility.