モンゾ

これは初心者向けページです。 新たな読者がトピックの基本を簡単に学べるように書かれています。

対応する上級者向けページは モンゾと音程空間 です。

モンゾ(英 : monzo)は純正音程の表記法であり、より単純な素数音程を単位として、「合成」音程を直接表現できるようにする方法。モンゾは基本的に [a b c d e f …⟩ の形で表記される。a b c … の列は、2, 3, 5, 7, 11, 13,… の素数リミットまでの素数が、音程の素因数分解にどのくらい寄与するかを表す。

モンゾはヴァル(英 : val)と対を成すものとして考えることができる。

より数学的な議論として、モンゾと音程空間を参照のこと。

歴史と用語

モンゾは2003年6月、Joseph Monzoに敬意を表してGene Ward Smithにより命名された。これらは以前、John ChalmersによってXenharmonikôn 1内でfactoradsとも呼ばれていたが、基本的な考え方は少なくともAdriaan Fokkerまで遡り、おそらくはさらに遡る。命名状況全体がスティグラーの法則の例として何度も見られる。より説明的だが長い用語には、素数計数ベクトル、素数指数ベクトル、純正律の文脈では、倍音空間座標などがある。

例

例えば、15/8 という音程は分子が [math]5 \times 3 [/math]、そして分母が [math]2 \times 2 \times 2[/math] と考えられる。これは簡潔に、[math]2^{-3} \times 3^1 \times 5^1[/math] と表現でき、それは正確に 15/8 と同じである。各素数の指数をとり、並べ、[…⟩という括弧の中に入れることでモンゾを構築する。すなわち、[-3 1 1⟩ というように書く。

実用上のヒント: 正しい括弧を使うのに、Template:Monzoが役立つ。

これらは一般的な5-リミットのモンゾである。

比率	モンゾ
3/2	[-1 1 0⟩
5/4	[-2 0 1⟩
9/8	[-3 2 0⟩
81/80	[-4 4 -1⟩

これはいくつかの7-リミットのモンゾである。

比率	モンゾ
7/4	[-2 0 0 1⟩
7/6	[-1 -1 0 1⟩
7/5	[0 0 -1 1⟩

モンゾはヴァルの上で純正音程の「写像(maps)」を示すため、大切である。このマッピングはヴァルとモンゾの 2 つで表現される。例えば ⟨12 19 28 | -4 4 -1⟩ という風に書く。このマッピングは、同じ位置にあるヴァルとモンゾの値同士を掛け合わせ、そしてその結果を加えることで簡単に計算することができる。以下がその例。

⟨12 19 28|-4 4 -1⟩

12×(-4) + 19×4 + 28×1 = 0

これはすなわち、⟨12 19 28] のヴァルは12平均律のパテントヴァル(英 : patent val)であり、[-4 4 -1⟩ (2^-4 × 3⁴ × 5^-1 = 81/80) は 81/80、またはシントニックコンマである。実際、⟨12 19 28|-4 4 -1⟩ は 81/80 が12平均律の 0 ステップにマッピングされることを示す(通称テンパーアウト。81/80 のコンマが周波数比 0 とみなされていることを示している)。そしてそれは 12平均律がミーントーン音律 (en) であることを示している。西洋音楽のほとんどはこのように示せるという事実は、注目に値する。とりわけ、12平均律または12音ウェルテンペラメントで作曲された西洋音楽は、上記の方程式の可能性がある。

In general: ⟨a b c|d e f⟩ = ad + be + cf

関連項目

• モンゾと音程空間